Arbeitsblatt Extremwertaufgabe, Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 1/8x³ - 3/4x² + 6. Die Gerade g: x = u (0 ≤ u ≤ 4) schneidet das Schaubild K von f im Punkt P und die x-Achse in Q. Das Dreieck OPQ hat den Flächeninhalt F. Bestimmen Sie u so, dass F maximal wird.
  1. Verändern Sie u über den Schieberegler und beobachten Sie dabei die Veränderung des Dreiecks und deren Flächeninhalt F.
  2. Aktivieren Sie links in der Menüleiste unter "Abhängige Objekte" den Punkt C. Der Punkt C hat als x-Koordinate den aktuellen Wert von u (Schieberegler) und als y-Koordinate die zu u berechnete Fläche F des Dreiecks, also C(u|F). Verändern Sie u erneut über den Schieberegler. C zeichnet die Funktion, die jedem u den Flächeninhalt F des Dreiecks zuordnet.
  3. Aktivieren Sie links in der Menüleiste unter "Abhängige Objekte" die Funktion A(x). Dies ist die Zielfunktion und stimmt mit der Spur, die der Punkt C hinterläßt überein.
  4. Die Fläche F wird mit 4,09 maximal zwischen u = 2,30 und u = 2,46. An den Randbereichen u = 0 ist F = 0 und bei u = 4 ist F = 4. F = 4,09 ist damit innerhalb des Defintionsbereichs von u das globale Maximum.