Método de iteraciones
- Autor:
- Ignacio Larrosa Cañestro
Para aplicar este método para resolver numéricamente una ecuación F(x) = 0, es necesario despejar una x, para escribir la ecuación como x = f(x). Si la función f es contractiva en un intervalo que incluye la aproximación inicial x0 y la raíz, el método converge. Una condición suficiente, aunque no necesaria, para que f sea contractiva en un intervalo es que |f'(x)| < q < 1 en el intervalo. Cuanto menor sea q, más rápida será la convergencia.
Obsérvese que una misma ecuación F(x) = 0 puede dar lugar a muchas ecuaciones de la forma x = f(x), unas más adecuadas que otras para aplicar el método de aproximaciones sucesivas.
Se puede modificar la función en la caja de entrada correspondiente. El valor de la qaproximación inicial puede introducirse en su caja de entrada desplazando con el cursor el punto x0 en el eje Ox.
El número de iteraciones se puede controlar con el botón [Iteración] o con el deslizador. En principio está limitado a 100 iteraciones, pero una vez alcanzado ese limite, pulsando el botón [Iteración] se va ampliando.
Los botones [Zoom +] y [Zoom -] producen un acercamiento o alejamiento por un factor 2, centrado en el punto correspondiente a la última aproximación. Haciendo clic en el panel derecho y pulsando [CTRL] + [M] se restituye la escala estándar.
Una función interesante es f(x) = kx(1-x), con cualquier valor inicial en (0, 1). El comportamiento varía totalmente para los diferentes valores de k. Por encima de 4 diverge rápidamente, pero entre tres y cuatro adopta comportamientos casi cíclicos de longitud creciente, hasta ser completamente caóticos por encima de 3.6 (Ver: Duglas R. Hofstatadter, "Los atractores extraños son conficuraciones matemáticas en equilibrio entre orden y caos", Temas metamágicos, Investigación y Ciencia , enero 1982).