Фонтана
- Author:
- Бранко Сретеновић
Студенткиња је шетала парком и на фонтани је видела млазеве који изгледају као параболе. Са друге стране, знала је да млазеви воде праве "коси хитац". Студенткиња се запитала да ли млаз стварно прави параболу.
При себи је имала свеску и оловку.
Уместо писања може се користити чекирање са десне стране слике.
Показати студенткињи да фонтана баца воду у облику параболе (искористити формулу за "коси хитац" из физике).
Објашњење
Прво треба приметити да "коси хитац" представља једну квадратну функцију. Поставља се и опште питање. Да ли било која квадратна функција представља параболу? Одговор је потврдан.
Питање
Коју дефиницију параболе треба користити?
Главни проблем овде је у томе што се једначина параболе коју ми радимо односи само на параболу чије се теме налази у координатном почетку и чија оса се поклапа са x осом.
То значи да овде прво треба транслирати теме квадратне функције у координатни почетак, а затим је треба заротирати за 90 степени.
Нека је дата квадратна функција
()
Нека је теме квадратне функције . Свођењем на канонски облик се добија позната формула Уведимо смене
Ово се може интерпретирати векторски
Зато се свака тачка квадратне функције транслира за вектор у функцију
Специјално, теме прве функције се пресликава у координатни почетак. Зато је тражена транслирана крива. Остала је ротација. Приметимо да се ротирањем у позитивном смеру за прав угао, x оса пресликава у y осу, а y оса у супротно оријентисану x осу. Ово значи да ће ротирана тачка већ транслиране криве имати координате . Уводимо смене
Када то убацимо у једначину добијамо
што је и требало доказати. У случају да квадратна функција има негативан а, онда би ротирање ишло у негативном смеру. Закључак је да све што је "коси хитац" (а много кретања то јесте) представља параболу. Али и више од тога, график било које квадратне функције је парабола.