X(115) Center of Kiepert hyperbola

Auteur:
chris cambré
Onderwerp:
Coördinaten, Hyperbool

center of Kiepert hyperbola

One of the ways to construct the center of the Kiepert hyperbola is the intersection of two circles: the nine-points circle (in pink) of triangle ABC and the circumcircle of the incentral triangle of ABC. The nine-points circle is so-called because it passes through nine significant points of the triangle:
  • the midpoints of the three edges,
  • the feet of the three altitudes,
  • and the points halfway between the orthocenter and each of the three vertices.
The circumcircle of the incentral triangle is constructed as follows:
  • Construct the incircle of ABC with midpoint I.
  • Construct IA as the intersection point of the line AI with BC. Construct IB as the intersection point of the line BI with AC. Construct IC as the intersection point of the line CI with AB. The triangle IAIBIC is called the incentral triangle.
  • Construct the circumcircle of the incentral triangle (in violet).
The nine-points circle and the incentral triangle instersect in P, triangle center X(115). This point is also the center of the Kiepert hyperbola. The barycentric coordinates of this point depend on the lenghts of the sides of the triangle.

middelpunt van de hyperbool van Kiepert

Een van de manieren om het middelpunt van de hyperbool van Kiepert te construeren is het snijpunt van twee cirkels: de negenpuntscirkel (in paars) van driehoek ABC en de omgeschreven cirkel van de incentrische driehoek van ABC. De negenpuntscirkel wordt zo genoemd omdat hij door 9 merkwaardige punten van de driehoek gaat:
  • de middens van de drie zijden
  • de voetpunten van de hoogtelijnen
  • en de punten halfweg het hoogtepunt en de drie zijden.
De omgeschreven cirkel van de incentrische driehoek construeer je als volgt:
  • Construeer de ingeschreven cirkel van ABC met middelpunt I.
  • Construeer IA als het snijpunt van de rechte AI met BC. Construeer IB als het snijpunt van de rechte BI met AC. Construeer IC als het snijpunt van de rechte CI met AB. De driehoek IAIBIC noemt met de incentrische driehoek.
  • Construeer de omgeschreven cirkel van deze incentrische driehoek (in violet).
De negenpuntscirkel en de incentrische driehoek snijden elkaar in P, driehoekscentrum X(115). Dit punt is ook het middelpunt van de hyperbool van Kiepert. De barycentrische coördinaten van dit punt worden bepaald door de lengtes van de zijden van de driehoek.

Nieuw didactisch materiaal

Ontdek materiaal

Ontdek onderwerpen