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Zusammenhänge 7

Autor:Walter Füchte
Ist die absolute Invariante eines quadratischen Vektorfeldes reell, so gibt es stets einen Symmetriekreis, auf dem mindestens 2 der Brennpunkte liegen:
  • 4 verschiedene Brennpunkte auf einem Kreis
  • 2 Brennpunktpaare, die spiegelbildlich auf zwei orthogonalen Kreisen liegen
  • 2 einfache und ein doppelt zählender Brennpunkt; 3 Punkte liegen stets auf einem Kreis.
  • 1 einfacher und ein 3-fach zählender Brennpunkt, diese liegen auf dem Symmetriekreis
Wir wählen diesen Kreis im Kugelmodell der Möbiusebene als Einheitskreis in der Ebene. In der Projektion der Möbiuskugel vom Fernpunkt des Kreises auf die Ebene des Einheitskreises ergeben sich die folgenden 4 Fälle:
  • 4 Brennpunkte auf dem Kreis mit 4 Kreistangenten. Sie lassen sich symmetrisch zu den Achsen anordnen. Durch jeden Punkt im Inneren des Kreises, von den Punkten auf den Achsen abgesehen, gehen 2 "Brennkreise" (rot), deren Winkelhalbierenden die Richtungen des quadratischen Vektorfeldes in der Projektion ergeben. Zu 5 vorgegebenen Geraden gibt es genau einen Kegelschnitt mit diesen Geraden als Tangenten. Das ergibt Kegelschnittbüschel, deren Kegelschnitte das Innere des Kreises 2-teilig schneiden. In der Projektion auf die Möbiuskugel entstehen 2-teilige bizirkulare Quartiken.
  • 2 Brennpunkte auf dem Kreis mit 2 Kreistangenten. 2 Brennpunkte auf der 2. Symmetrieachse, die in der Projektion zusammenfallen. Zu jedem Punkt im Inneren des Kreises ohne die Punkte auf der Achse gehen 2 "Brennkreise", deren Winkelhalbierende wieder die Richtungen des quadratischen Vektorfeldes vorgeben. Nimmt man den zur Achse symmetrischen Punkt und die gespiegelten Richtungen hinzu, lassen sich die Kegelschnitte aus 4 Geraden durch einen Punkt konstruieren. Diese Kegelschnitte schneiden das Innere 1-teilig, die zugehörigen bizirkularen Quartiken sind 1-teilig.
  • 3 Brennpunkte auf dem Kreis, der 3. liegt auf der Symmetrie-Achse. Die Brennkreise (einer geht durch den 2-fach zählenden Brennpunkt auf der Achse) und deren Winkelhalbierende geben wieder die Richtungen vor. Zusammen mit dem gespiegelten Punkt und den gespiegelten Richtungen erhält man aus 5 Geraden die tangierenden Kegelschnitte. In der Projektion auf die Möbiuskugel ergeben sich konfokale Kegelschnitte als Lösungskurven, wenn man den 2-fachen Brennpunkt als und den Kreis als x-Achse wählt.
  • 2 Brennpunkte auf dem Kreis, einer zählt 3-fach. Der Kreis selber ist die einzige Symmetrieachse. Die Brennkreise durch einen Punkt im Inneren sind die Geraden durch die Brennpunkte und diesen Punkt. Deren Winkelhalbierende liefern die Richtungen. In der Figur oben wird ein wenig gemogelt: ein Kegelschnitt, welche eine Gerade 3-fach berührt, zerfällt in diese Gerade und eine weitere Gerade. Wir behelfen uns mit 2 nahe beim 3-fachen Brennpunkt auf dem Kreis liegenden Punkten. Durch 4 Punkte gehen 2 Kegelschnitte mit einer vorgebebenen Tangente. Der Kreis ist Krümmungskreis dieser Kegelschnitte. Als Bild auf der Möbiuskugel erhält man x-Achsen-symmetrische konfokale Parabeln, wenn man den 3-fachen Brennpunkt als und den Kreis als x-Achse wählt.
Bemerkung: Eigentlich sind die oben gebrauchten Begriffe Begriffe der hyperbolischen Ebene im Kreis-Modell von FELIX KLEIN. "Geraden" sind die im Inneren des absoluten Kreises verlaufenden Geradenstücke. Auf der Kugel sind das die zum absoluten Kreis orthogonalen Kreise. Eigentlich wären die "Brennkreise" die Kreise durch die Brennpunktpaare. In der Projektion sind das Kegelschnitte, die in den Brennpunkten die Kreistangenten berühren. Die dazu orthogonalen Kreise sind orthogonal zum absoluten Kreis und besitzen dieselben Winkelhalbierenden. "Winkelhalbierende" sind vom absoluten Kreis aus definiert: 2 sich im Inneren schneidende Geraden besitzen Schnittpunkte mit dem absoluten Kreis. Die Tangenten in diesen Punkten schneiden sich auf den Winkelhalbierenden.

Die Gleichungen

Fall I: 4 verschiedene konzyklische Brennpunkte in Normalform: .
Bestimmt man aus dieser Gleichung die Scheitelpunkte , und setzt man die zugehörigen in die Gleichung ein, so erhält man die Gleichungen:
aus denen man ersieht, dass die Scheitelwerte wie die Brennpunkte symmetrisch liegen: . Fall II: 2 spiegelsymmetrisch liegende Brennpunktpaare nicht in Normalform, sondern um gedreht: . Spiegelachsen sind die beiden Koordinatenachsen.
Mit dem Scheitelwert auf der x-Achse, erhält man die Gleichung:
Die Scheitel auf der y-Achse liegen bei . Die Rechnungen wären wohl per Hand etwas mühselig, mit einem guten CAS-Programm geht es blitzschnell. Das liegt sicher daran, dass all diese Gleichungen iterierte quadratische Gleichungen sind. Fall III: Brennpunkte in +1,-1, und den doppelten in , die Gleichungen werden nicht überraschen:
  • : konfokale Kegelschnitte.
Fall IV: Ein Brennpunkt in 0, und den drei-fachen in :
  • : konfokale Parabeln, symmetrisch zur x-Achse.  
Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene.

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