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Hyperbolische Konstruktionen

Autor:Walter Füchte

MITTELPUNKT und MITTELSENKRECHTE einer Strecke pq

Konstruktionen im Kreisscheibenmodell von BELTRAMI und KLEIN

Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene.

 Im Kreis-Modell der Hyperbolischen Ebene von BELTRAMI und Felix KLEIN sind ...
  • PUNKTE die Punkte, die im Inneren des absoluten Kreises liegen,
  • GERADEN die im Inneren verlaufenden Geradenstücke,
  • zwei GERADEN ORTHOGONAL, wenn die Geraden jeweils durch die Pole der anderen Geraden gehen.
GERADENspiegelungen(*) lassen die PUNKTE auf der GERADEN, den absoluten Kreis und den Pol der Geraden fest. Um den MITTELPUNKT zweier PUNKTE p und q auf einer GERADEN g zu konstruieren, verbinde man p und q mit dem Pol von g. Die entstehenden GERADEN sind ORTHOGONAL zu g; sie schneiden den absoluten Kreis jeweils in zwei Punkten. Verbindet man diese Punkte "über Kreuz", so schneiden sich die entstehenden GERADEN im MITTELPUNKT m der Strecke pq. m verbunden mit dem Pol von g liefert die MITTELSENKRECHTE zur Strecke pq. Die hyperbolischen ABSTÄNDE der PUNKTE p und q von m sind gleich groß. Wie mißt man den hyperbolischen Abstand zweier PUNKTE p, q? Die Gerade g = pq schneidet den absoluten Kreis in 2 Punkten r,s. Wir betrachten alle Punkte als komplexe Zahlen in . Das komplexe Doppelverhältnis von 4 Punkten
  • ist reell für Punkte, die auf einem Kreis oder einer Geraden liegen.
Der hyperbolisch Abstand (**) besitzt alle Eigenschaften, die man von einer Längenmessung verlangt. (*) Geradenspiegelung ist hier projektiv gemeint. (**) In geogebra ist das Doppelverhältnis komplex, die ln-Funtion rechnet daher auch komplex, korrekt wird der hyperbolische Abstand in geogebra mit berechnet. Da gilt, ist die dist-Funktion damit von der Reihenfolge von p und q unabhängig.

KREISE in der hyperbolischen Ebene

GERADENspiegelung - und - Konstruktion eines KREISES um m durch s

KREISE im Kreisscheibenmodell von BELTRAMI und KLEIN sind im Gegensatz zu den Kreisen im POINCARÉ'schen Modell keine Kreise (im euklidischen Sinne). Jedoch lassen sich die KREISE wie in der euklidischen Ebene definieren als die Menge aller PUNKTE, die von einem PUNKT m denselben hyperbolischen ABSTAND besitzen. m und p seien gegeben. Man konstruiere den SpiegelPUNKT von p bezüglich m. Dazu konstruiere man zunächst die ORTHOGONALE zur GERADEN pm durch m. Die hyperbolischen WINKELHALBIERENDEN werden mit Hilfe der Schnittpunkte des absoluten Kreises mit den Geraden pm und mit deren NORMALEN in m konstruiert. p wird hyperbolisch an diesen WINKELHALBIERENDEN gespiegelt: p', p''. Eine weitere SPIEGELUNG liefert den gesuchten SpiegelPUNKT p''' von p an m. Die 4 PUNKTE p, p', p'', p''' sind Punkte des gesuchten KREISES um m. Die ORTHOGONALE zu pm in p muß Tangente an diesen KREIS sein. Gesucht ist ein Kegelschnitt durch 4 Punkte mit einer vorgegebenen Tangente in einem der Punkte. Ein solcher Kegelschnitt ist eindeutig bestimmt, wenn die Punkte nicht auf einer Geraden liegen. Konstruiert wurde dieser Kegelschnitt mit einem benutzerdefinierten Werkzeug, siehe Kegelschnitt-Werkzeuge.

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