Yhdistetyn funktion integrointi
Yleinen tapaus
Derivointikursseilla opittiin yhdistetyn funktion derivointi (ketjusääntö):
Esimerkki. .
Yhdistetyn funktion integrointi on ketjusäännön käänteinen toimitus.
Esimerkki. Edellisen esimerkin perusteella .
Oleellista on huomata, että sisäfunktion derivaatta pitää olla osa integroitavaa lauseketta, ja että se "katoaa" integroitaessa.
Potenssifunktion integrointi
Yhdistetyn funktion integroimissääntöä noudattaen
kun . Tapaus käsitellään myöhemmin.
Jos sisäfunktion derivaatta ei ole suoraan näkyvissä, se pitää muokata "väkisin" esiin kaavan edellyttämään muotoon.
Esimerkki. Laske .
Sisäfunktio on ja sen derivaatta . Muokataan lauseketta niin, että sisäfunktion derivaatta tulee esiin (vaihe 1) ja siirretään vakiokerroin ulos integraalista (vaihe 2) ennen integrointia (vaihe 3) ja sieventämistä (vaihe 4):
.
Esimerkki. Laske .
Sisäfunktio on ja sen derivaatta . Muokataan lauseke potenssifunktioksi ja otetaan sisäfunktion derivaatta esiin tuoden samalla vakiokerroin ulos integraalista (vaihe 1), suoritetaan integrointi missä sisäfunktion derivaatta katoaa (vaihe 2) ja lopuksi sievennetään (vaihe 3):
.
Huomautuksia
- Vain vakiokertoimen saa siirtää integraalin eteen. Muuttujaa sisältävää lauseketta ei koskaan saa ottaa ulos integraalista!
- Integroinnin voi aina tarkistaa derivoimalla.
- On olemassa myös tilanteita, joissa integrointi on mahdotonta!