GeoGebra

Lineare Vektorfelder: die Formeln

Auteur :Walter Füchte

Diese Seite ist Teil des geogebra-books Moebiusebene.

Ist irgendein Geradenvektor, so wird durch
  • für alle Berührgeradenvektoren
auf der Möbiusquadrik ein lineares Vektorfeld erklärt. Je nach dem Typ von besitzen diese Vektorfelder eine oder zwei Nullstellen: eine, falls selber eine Berührgerade ist, zwei, wenn das komplexe Vielfache einer Schnittgeraden ist. Die Nullstellen sind die Pole der "Infinitesimalen Bewegung" . Diese Bezeichnung erklärt sich aus dem Zusammenhang zwischen der LIE-Algebra und der LIE-Gruppe . Gesucht sind die Lösungskurven (Integralkurven) dieser linearen Vektorfelder. Hierzu erklären wir zunächst für jedes die bezüglich schiefe Abbildung:
  • durch
und damit die Exponentialabbildung
  •  
Man kann allgemein zeigen, dass für alle eine gleichsinnige Möbiusabbildung ist, dh. in liegt. Wir identifizieren jedoch jede dieser Abbildungen direkt als gleichsinnige Möbiusabbildung und zeigen zudem, dass surjektiv ist: jede gleichsinnige Möbiusabbildung ist das Bild einer Infinitesimalen unter der Exponentialabbildung. Fall 1: ist ein Berührgeradenvektor: . Wir wählen ein euklidisches Koordinatensystem mit . Damit ist das zugehörige lineare Vektorfeld. Nach den Vertauschungsregeln des euklidischen Koordinatensystems (s.u) erhält man:
  • mit reellem oder komplexem t. ist also in diesem KOS eine Verschiebung um das reelle oder komplexe t.
  • Die Kurve ist eine W-Bewegung in , das ist eine Ein-Parameteruntergruppe.
  • Die Kurve ist eine W-Kurve und eine Integralkurve des Vektorfeldes, in diesem KOS eine Gerade durch .
Fall 2: Ist , so wählen wir das euklidische KOS so, dass gilt. Dann ist das zugehörige lineare Vektorfeld. Wieder mit den Vertauschungsregel des euklidischen KOS ergibt sich
  • Erneut ist die Kurve in eine W-Bewegung .
  • Die Kurve ist eine W-Kurve und eine Integralkurve des Vektorfeldes durch , im gewählten KOS handelt es sich je nach dem Argument von um eine logarithmische Spirale, eine Ursprungsgerade oder einen um den Ursprung konzentrischen Kreis.
Die Umrechnungsformeln für euklidische Koordinatensysteme:

Das Vektorfeld unten wurde mit Cinderella.2 erstellt, hier nur als Bild, im Original ziemlich beweglich!

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