Cassini
Nach G.D. Cassini (165-1712) sind die CASSINI-Kurven (manchmal auch CASSINI-Lemniskaten) benannt: das sind Kurven, für die das Produkt der Abstände von zwei Punkten konstant ist. Cassini hat diese Kurven KEPLER als alternative Planetenbahnen vorgeschlagen, doch die Kurven mit der Gärtnerkonstruktion, nämlich die Ellipsen, für welche die Summe der Abstände von 2 Brennpunkten konstant ist, haben das Rennen gewonnen.
Wir untersuchen zunächst diejenigen HERMITEschen Produkte , deren zwei Infinitesimalen zusammen vier verschiedene Pole besitzen. Dazu wählen wir das euklidische KOS (siehe Hilfe unten) so, dass die Pole in Normalform liegen: (siehe hierzu auch Abschnitt 4 über die Lage von 4 Punkten)
sei die Verbindungsgerade von und , die Verbindungsgerade von und mit .
Nützlich ist auch die Darstellung der Pole in Polarkoordinaten .
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In Normalform sind die normierten Verbindungs-geraden.
Der von aufgespannte komplexe zwei-dimensionale Unterraum läßt sich als Möbiusebene auffassen, die Wurzel-Abbildung ist durch die Projektion im Geradenraum einfach zu überblicken. Geometrisch kann diese Projektion mit Hilfe des Höhensatzes konstruiert werden (siehe nächstes Blatt).
Mit gilt nun wegen:
- Die Quartik ist der Ort der Punkte, in welchem sich die zu und gehörenden W-Kurven berühren. Das ist zugleich der Ort, in welchem sich die Kreise durch und die durch unter dem Winkel schneiden. Es handelt sich also bei diesen Orten um die möbiusgeometrische Verallgemeinerung der Fasskreise der euklidischen Geometrie. Fasskreise sind die Kreise, in welchen die Geraden durch einen Punkt die Geraden durch einen 2.ten Punkt unter einem vorgegebenen Winkel (modulo ) schneiden.
- In ist für die Gleichung die Gleichung eines Kreises durch die Punkte und . Der Peripheriewinkel ist . Der Mittelpunkt wird berechnet: .
- Für bedeutet die Kreisgleichung mit in : mit und
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Fazit: Der Ort , in welchem sich die zu gehörenden W-Kurven berühren, ist eine Cassini-Kurve. Auf dieser Kurve schneiden sich die Kreise durch und durch unter dem konstanten Winkel . Die CASSINI-Quartik ist das Bild eines Kreises unter der komplexen Wurzel-Funktion . Die Cassini-Kurve geht durch die Pole der Infinitesimalen , der Kreis geht durch die Punkte und und ist Peripheriewinkelkreis zum Winkel .***********************************************************************************************
Mit den genannten Angaben kann man diese Berührorte mit Hilfe der Wurzel-Funktion, also eigentlich mit Hilfe des Höhensatzes, als Ortskurven konstruieren. Im obigen Applet können der Punkt und der Winkel gewählt werden (Punkt auf dem Einheitskreis). Daraus werden und und der Mittelpunkt nach obiger Formel "konstruiert". Der Punkt auf dem Peripheriewinkelkreis läßt sich bewegen und mit ihm der Punkt auf der Cassini-Quartik. Besondere Lagen des Winkels sind bemerkenswert:- Die Kreise der beiden Büschel berühren sich auf der Cassini-Quartik. Der Mittelpunkt des Urbilds liegt auf der -Achse.
- Die Büschelkreise schneiden sich orthogonal auf der Quartik. Der Mittelpunkt liegt auf der -Achse.
- Fällt auf der Mittelsenkrechten von und mit der Mitte der Achsenschnittpunkte zusammen, so erhält man eine BERNOULLI-Lemniskate. Das ist das Bild einer orthogonalen Hyperbel an einem Kreis um den Ursprung.
- Wählt man auf der x-Achse, so liegen alle Pole und deren Quadrate auf der -Achse, die Kreismittelpunkte liegen wieder auf der Mittelsenkrechten von und , also senkrecht zur -Achse. Liegt ebenfalls auf der -Achse (), so zerfällt die Quartik in die beiden Achsen.
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