cenni storici (Géométrie)

Autore:
Sara
La Géométrie e la sua struttura Come già accennato, Cartesio pubblicò la Géométrie nel 1637, con lo scopo di fornire un metodo universale per risolvere tutti i problemi geometrici. Nel capitolo precedente abbiamo visto che secondo Cartesio lo scopo della geometria era quello di costruire soluzioni di problemi geometrici per mezzo di curve tracciate con strumenti particolari, chiamati "nuovi compassi". Verso il 1630, però, Cartesio divenne consapevole del potere dei metodi algebrici. Nella Géométrie, quindi, l’algebra divenne lo strumento dominante, sia per la costruzione dei problemi, che per la classificazione delle curve. La Géométrie è suddivisa in tre libri.
  •  Nel primo libro, Cartesio fornisce un metodo algebrico per risolvere i problemi piani. Mostra innanzitutto come interpretare geometricamente le operazioni aritmetiche (addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione e radice quadrata) e quindi come ricavare l’equazione algebrica (in una incognita) relativa al problema. In seguito spiega come costruire con riga e compasso le radici dell’equazione.
  •  Nel secondo libro tratta la questione dell’accettabilità delle curve.
  •  Nel terzo libro definisce il criterio di semplicità.
Criterio di accettabilità Il criterio di accettabilità di una curva si basava sul metodo utilizzato per tracciarla. Come nel 1619, Cartesio rimase convinto del fatto che le curve determinate da un unico moto continuo o da moti continui dipendenti l’uno dall’altro fossero accettabili in geometria. Scrisse infatti: "Mi sembra molto chiaro che se considero come geometriche quelle curve che sono precise ed esatte, e come meccaniche tutte quelle che non lo sono, e se considero geometria quella scienza che fornisce una conoscenza generale delle misure di tutti i corpi, non abbiamo ragione di escludere le curve più complicate, supposto che possiamo immaginarle come descritte da un moto continuo, o da più moti continui che dipendono l’uno dall’altro, l’ultimo dei quali completamente regolato da quelli precedenti. In questo modo, infatti, possiamo sempre avere un’esatta conoscenza di tutte le misure." Cartesio definì quindi curve geometriche quelle accettabili in geometria, e curve meccaniche le altre. Notò, però, che anche la spirale e la quadratrice, curve che considerava meccaniche, potevano essere tracciate per moto continuo. Dovette, quindi, specificare quali condizioni doveva rispettare il moto. Inoltre, Cartesio incontrò alcune curve difficili da costruire con moto continuo. Preferì costruire tali curve punto per punto o con strumenti che comprendevano stringhe. Affermò, quindi, che questi metodi di rappresentazione erano accettabili in geometria come la costruzione per moto continuo. Ancora, notò che la costruzione punto per punto e la tracciatura tramite stringhe potevano essere utilizzate anche per la quadratrice e la spirale. Dovette, quindi, specificare condizioni che escludessero le curve meccaniche e che rendessero queste metodologie di costruzioni accettabili geometricamente. Poco avanti vedremo degli esempi di curve tracciate con questi tre metodi e approfondirò meglio la questione di accettabilità per ognuno di essi. Una osservazione importante da fare è la seguente: le curve geometriche di Cartesio coincidono con quelle che oggi chiamiamo curve algebriche, cioè quelle che hanno una equazione algebrica. Mentre le curve meccaniche coincidono con quelle che chiamiamo trascendenti. Anche Cartesio era convinto del fatto che le curve geometriche fossero esattamente quelle con un’equazione algebrica, ma tuttavia non lo dichiarò esplicitamente: in tal caso, avrebbe reso l’algebra il criterio per decidere se una curva fosse geometrica o no, nonostante non fosse per natura un criterio geometrico. In ogni caso, a convicerlo del fatto che le curve geometriche fossero tutte e sole quelle con una equazione algebrica fu questa catena di affermazioni: (a) -> (b) -> (c) -> (d) -> (a), dove (a) le curve tracciate tramite moto continuo sono accettabili in geometria, (b) le curve accettabili in geometria hanno equazione algebrica, (c) dall’equazione algebrica è sempre possibile fare costruzione punto per punto, (d) se una curva è costruibile punto per punto, allora è costruibile anche con moto continuo. Tuttavia Cartesio non utilizzò mai l’equazione per introdurre o rappresentare una curva: rappresentare una curva significava per lui costruirla, tracciarla e immaginarla in modo chiaro e distinto. Riteneva, invece, che l’algebra fosse soltanto uno strumento e non un mezzo di rappresentazione. Criterio di semplicità Come Pappo, Cartesio invitò i matematici a risolvere un problema con le curve appropriate, ovvero quelle più semplici possibili. In caso contrario, si inciamperebbe in quello che Cartesio chiama "faute", ovvero l’errore: è un peccato risolvere un problema con strumenti più complessi del necessario. Cartesio dovette quindi presentare un criterio di semplicità, per stabilire quando una curva è più semplice di un’altra. Inizialmento pensò ad un criterio di semplicità basato sulla costruzione, cioè stabilì che una curva era tanto più semplice quanto gli strumenti utilizzati per costruirla erano semplici. Ma notò subito che questo criterio era poco chiaro e rigoroso. Basò, quindi, il suo criterio di semplicità sull’algebra: dal momento che ad ogni curva geometrica era possibile associare una equazione algebrica, stabilì che tra due curve fosse più semplice quella con equazione di grado inferiore.

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