Die Symmetrie ganzrationaler Funktionen
- Autor:
- Ralf Wiechmann
Betrachten Sie folgende Abbildung. Um den Unterschied zwischen Punktsymmetrie zum Ursprung und Achsensymmetrie zur y-Achse zu sehen, schalten Sie zwischen beiden hin und her.
Wie man also sieht, gilt folgendes:
Der Graph von f ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn gilt: f(-x) = -f(x)
Der Graph von f ist achsensymmetrisch zur y-Achse ,wenn gilt: f(-x) = f(x)
Aufgabe
Betrachten Sie die Wertetabellen zu den beiden folgenden Funktionen. Die Werte in den linken Hälften der Tabellen sind noch nicht richtig. Die richtigen Werte lassen sich aus den Werten der rechten Seite ohne Rechnung mit einem Blick auf den Funktionsterm erschließen (warum?). Tragen Sie die richtigen Werte ein.
In der Abbildung sind bereits die Punkte der rechten Hälfte und der zugehörige Teil des Graphen eingetragen. Immer wenn Sie einen Wert in der linken Tabellenhälfte richtig eintragen, erscheint der zugehörige Punkt im linken Teil der Abbildung. Welche Symmetrie ergibt sich jeweils?
Es gilt für ganzrationale Funktionen also folgendes:
Enthält f nur Summanden mit geraden Exponenten, so ist f achsensymmetrisch zur y-Achse.
Enthält f nur Summanden mit ungeraden Exponenten, so ist f punktsymmetrisch zum Ursprung.
Achtung: Der konstante Term zerstört die Punktsymmetrie, nicht aber die Achsensymmetrie (warum?)
Aufgabe
Geben Sie jeweils die Symmetrie der folgenden Funktionen an, indem Sie bei allen richtigen Aussagen ein Kreuz setzen. Sie können Ihr Ergebnis überprüfen, indem Sie am Ende der Seite den Button "Überprüfen" anklicken.