Fermat priemgetallen als voorwaarde...

Auteur:
chris cambré
Onderwerp:
Veelhoeken

vergelijkingen en vierkantswortels

Door zijn kennis van de wiskunde en zijn briljant wiskundig inzicht kon Gauss de vraag "welke regelmatige veelhoeken kan je construeren met enkel een passer en lineaal" benaderen vanuit een heel nieuwe kijk op het probleem. "Je kunt een regelmatige n-hoek construeren met enkel passer en lineaal, als de overeenkomstige vergelijking oplossingen heeft waarin enkel vierkantswortels voorkomen en geen hogere machtswortels".
  • Vergelijkingen van de tweede graad hebben oplossingen in de vorm van vierkantswortels. De overeenkomstige regelmatige veelhoek heeft 3 zijden en je kunt hem construeren met passer en lineaal.
  • Vergelijkingen van de vierde graad hebben oplossingen in de vorm van vierkantswortels. De overeenkomstige regelmatige veelhoek heeft 5 zijden en je kunt hem construeren met passer en lineaal.
  • Vergelijkingen van de zesde graad hebben geen oplossingen in de vorm van vierkantswortels. De overeenkomstige regelmatige veelhoek heeft 7 zijden en je kunt hem niet construeren met passer en lineaal.
Wiskundigen hadden snel door dat het al dan niet kunnen construeren van een regelmatige veelhoek afhangt van de graad van de overeenkomstige vergelijking.

Fermat priemgetallen

Fermat priemgetallen zijn getallen van de vorm 2k + 1, waarbij k zelf een macht van 2 is. We kunnen dus ook schrijven (2)2^n +1 Nemen we alsvoor n respectievelijk 0, 1, 2, 3 en 4 dan worden de eerste Fermat priemgetallen:
  • n=0: (2)2^0 + 1 = 21 + 1 = 2 + 1 = 3
  • n=1: (2)2^1 + 1 = 22 + 1 = 4 + 1 = 5
  • n=2: (2)2^2 + 1 = 24 + 1 = 16 + 1 = 17
  • n=3: (2)2^3 + 1 = 28 + 1 = 256 + 1 = 257
  • n=4: (2)2^4 + 1 = 216 + 1 = 65536 + 1 = 65537
Gauss begreep al snel dat de Fermat priemgetallen hem een sleutel boden tot het construeren van veelhoeken met passen en lineaal. Hij stelde tot verrassing van velen dat je een zeventienhoek kunt construeren met passer en lineaal want 17 is een Fermat priemgetal. Typisch voor Gauss is dat hij het niet nodig vond om een formeel bewijs uit te schrijven voor deze regel (dat had hij trouwens gemeen met Fermat). Dat hij de regel begreep en tegelijk heel logisch vond, was meer dan genoeg voor hem... Euler ontdekte later dat je voor k = 5 geen priemgetal krijgt: (4 294 967 297 = 641 . 6 700 417). De formule geldt wel voor de eerste vijf getallen, maar inmiddels heeft men voor k = 5 tot k = 32 berekend dat ze niet priem zijn.

meer construeerbare regelmatige veelhoeken

Meteen kon Gauss het lijstje van regelmatige veelhoeken die je kunt construeren met passer en lineaal uitbreiden. De volgende Fermat priemgetallen zijn 17 en 257. Gauss moest dus niet gokken en lukraak proberen of hij een 9, 11 of 13-hoek kon construeren. Hij wist dat het moest lukken met 17.

Nieuw didactisch materiaal

Ontdek materiaal

Ontdek onderwerpen