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III: z² und konfokale Parabeln

Das quadratische Vektorfeld besitze eine dreifache und eine einfache Nullstelle. Allgemein ist also die elliptische Differentialgleichung zu lösen. Wählt man das euklidische KOS so, dass die dreifache Nullstelle in und die einfache Nullstelle ist, so kann das quadratische Vektorfeld durch beschrieben werden. Eine Lösung ist , denn es ist . Die Kurven und sind die konfokalen Parabeln mit Brennpunkt 0 und der -Achse als Symmetrieachse. Zum gedrehten Vektorfeld gehören die um den Ursprung gedrehten Parabeln. Würde man als die einfache und 0 als die dreifache Nullstelle wählen, so ergäbe sich die Differential-Gleichung mit der Lösung . Die erzeugenden Kreisbüschel sind die Geraden durch den Ursprung einerseits und das parabolische Kreisbüschel der Kreise, welche die -Achse im Ursprung berühren. Die Lösungskurven (invertierte Parabeln) sind Winkelhalbierende dieser Kreise.

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