Der hyperbolische Gärtner

Die hyperbolische Gärtnerkonstruktion

Wo liegen in der hyperbolischen Ebene die Punkte, für welche die Summe der Abstände von zwei vorgegebenen Punkten konstant ist? In der euklidischen Ebene liegen diese Punkte auf einer Ellipse mit den vorgegebenen Punkten als Brennpunkten: diese Charakterisierung erlaubt die Gärtner-Konstruktion für Ellipsen (Wikipedia). In der hyperbolischen Ebene (Wikipedia) hängt die Antwort von der Wahl des Modells ab: Dem Applet oben liegt das POINCARÉsche Kreisscheibenmodell zugrunde: "GERADEN" sind die im Inneren verlaufenden Kreis-Abschnitte von zum Einheitskreis orthogonalen Kreisen. Der hyperbolische "ABSTAND" zweier Punkte p, q im Inneren wird wie folgt berechnet: Durch die beiden Punkte geht genau eine GERADE, also ein zu E orhogonaler Kreis. Dieser Kreis schneidet den Einheitskreis E in zwei Punkten r und s. Damit wird der hyperbolische Abstand definiert:

Im Inneren des Einheitskreises E sind zwei Brennpunkte und auf der -Achse, symmetrisch zur -Achse vorgegeben. Zwei weitere Brennpunkte liegen spiegelbildlich zu E außerhalb des Einheitskreises. Durch den Punkt geht eine bizirkulare Quartik mit den vorgegebenen Brennpunkten, deren einer Teil ganz im Inneren von E verläuf; der 2.te Teil liegt spiegelbildlich zu E im Äußeren. TANGENTEN sind die doppelt-berührenden Kreise. Die Spiegelbilder von bezüglich der doppelt-berührenden Kreise liegen auf dem Leitkreis L, der hyperbolische MITTELPUNKT des Leitkreises ist der Brennpunkt . E und L gehören zu dem Kreis-Büschel mit und als Grundpunkten. Mit kann die Quartik und der zugehörige Leitkreis geändert werden. Der Quartik-Punkt kann durch den zugehörigen Punkt auf dem Leitkreis L längs der Quartik bewegt werden. Die hyperbolischen ABSTÄNDE werden mit der oben angegebenen Vorschrift und den angezeigten Punkten in komplexen Koordinaten berechnet. Das Applet unten zeigt die hyperbolische Ebene als Kreisscheibenmodell von BELTRAMI und KLEIN. GERADEN sind die im Inneren des Einheitkreises E verlaufenden Sehnen. Die GERADE durch zwei Punkte p und q hat zwei Randpunkte a,b. Der hyperbolische ABSTAND kann wie oben mit dem Doppelverhältnis und dem natürlichen Logarithmus berechnet werden. Das Bild unten entsteht aus dem POINCARÉschen Kreismodell durch Projektion der Möbiusquadrik auf die Ebene des Einheitskreises vom Pol derselben aus. Der Ort der Punkte, für welche die Summe der hyperbolischen ABSTÄNDE zu zwei Brennpunkten konstant ist, erweist sich nun als eine Ellipse: nutzt man die Symmetrien an der - und an der -Achse, so erhält man zu einem Punkt leicht weitere 3 spiegelbildliche Punkte der Kurve. Eine TANGENTE konstruiert man als Winkelhalbierende der BRENNSTRAHLEN; wobei der Einheitskreis als absolute Quadrik und die hierdurch definierten Pol - Polaren Beziehung zugrunde liegen. Durch 4 Punkte und eine Tangente ist ein Kegelschnitt eindeutig festgelegt. Hierzu kann man das Gegebrabook Kegelschnitt-Werkzeuge vergleichen. Der Punkt bewegt sich auf dem Kegelschnitt. Die Summe der hyperbolischen ABSTÄNDE von den Brennpunkten stimmt überein mit den Radius des LEITKREISES. Dieser ist hier ebenfalls eine Ellipse und wird etwas aufwendig als Ort der Spiegelbilder des Brennpunkts an den Kegelschnitt-TANGENTEN konstruiert. Auch hierzu sind Kegelschnitt-Werkzeuge nützlich. Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene.