Umkehrfunktion?!
Gegeben ist ein Graph eines Zusammenhangs f.
Aufgabe (1)
Überlegt, wie man überprüfen kann, ob es sich beidem Graph von f um einen Funktionsgraph handelt.
Aufgabe (2)
Klickt im Applet „Umkehrfunktion?!“ auf das Auswahlfeld Funktionstest. Erkundet, wie ihr mit der erscheinenden Gerade überprüfen könnt, ob der Graph ein Funktionsgraph ist. Notiert euer Vorgehen und euer Ergebnis.
Aufgabe (3)
Durch die Erkenntnis aus Aufgabe (2) könnt ihr jedem x-Wert genau einen y-Wert zuordnen. Dies könnt ihr durch Anklicken des Auswahlfelds x-Wert und Ziehen am Punkt x erkunden.
Aufgabe (4)
Kann man auch jedem y-Wert genau einen x-Wert zuordnen? Überlegt zunächst ohne das Applet zu nutzen!
Durch Anklicken des Auswahlfelds y-Wert und Ziehen am Punkt y könnt ihr das erkunden.
Aufgabe (5)
Überlegt, wie man bei einem Graph überprüfen kann, ob die umgekehrte Zuordnung y → x eindeutig ist und notiert eure Ideen.
Aufgabe (6)
Klickt auf das Auswahlfeld Umkehrbarkeitstest. Erkundet wie ihr mit der erscheinenden Gerade überprüfen könnt, ob die umgekehrte Zuordnung eine Funktion ist. Notiert euer Vorgehen und euer Ergebnis.
Aufgabe (7)
Überlegt und notiert, wie man den Definitionsbereich der Quadratfunktion einschränken müsste, damit die umgekehrte Zuordnung eine Funktion wird.
Aufgabe (8)
Im Applet kann durch Klicken auf die Auswahlknöpfe IR-, IR bzw. IR+ die Definitionsmenge der Funktion f entsprechend gewählt werden. Für welche der so entstehenden Funktionen f ist auch die umgekehrte Zuordnung eine Funktion, die sogenannte Umkehrfunktion f-1 von f?
Notiert und begründet eure Überlegungen.
Bemerkungen
- Ist eine Funktion f bzgl. einer Definitionsmenge umkehrbar ist, dann ist der Graph der Funktion zugleich auch der Graph der Umkehrfunktion f-1 von f. Man kann nämlich auch von einem beliebigen y-Wert parallel zur x-Achse zum Graphen laufen und anschließend senkrecht zur x-Achse und dort den zugeordneten x-Wert ablesen.
- Da man es aber gewohnt ist, dass das Argument (die unabhängige Variable) einer Funktion auf der x-Achse angetragen wird und der zugeordnete Funktionswert auf der y-Achse, spiegelt man den Graph der Funktion f an der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten des Koordinatensystems und erhält so den Graph der Umkehrfunktion f-1.