Zusammenhänge 4
Vom Quadrikschnitt zu HERMITEschen Formen
Die Möbiuskugel Q im Raum werde von einer zweiten Quadrik geschnitten. Die Kurven, die dabei entstehen, werden als , Raumkurven 4. Ordnung 1. Art bezeichnet (v. d. Waerden [WAER2]).
Wir wollen, ohne ins Detail zu gehen, zeigen, wie diese Kurven im Geradenraum durch HERMITEsche Formen beschrieben werden.
Zu den Bezeichnungen vergleiche man auch die Abschnitte 3.1 und 3.2.
Ist in neben der Möbiusform mit der Signatur (+,+,+,-) eine 2.te symmetrische Bilinerform gegeben, so kann man dieser eine bez. selbstadjungierte Abbildung mit zuordnen.
Für die Punkte auf dem Quadrikschnitt muss also gelten.
Wir übertragen diese selbstadjungierte Abbildung in den Geradenraum mittels der Derivierten , welche als reell-lineare Fortsetzung der Vorschrift definiert wird.
Die Abbildungen des Büschels erzeugen denselben Quadrikschnitt, also kann man so wählen, dass gilt.
- Die Derivierte ist unter dieser Voraussetzung reell linear, selbstadjungiert bezüglich der Möbiusform und schief-adjungiert bezüglich der PLÜCKER-Form, kurz: ist eine HERMITEsche Abbildung mit
- und
- für alle
- Die Derivation ist bijektiv; bestehe hierbei aus allen selbstadjungierten Abbildungen in mit Spur 0, und aus allen HERMITEschen Abbildungen von . Beide Räume sind reell 9-dimensional.
- Eine Berührgerade ist genau dann tangential an die Schnittkurve der beiden Quadriken, wenn neben gilt: .
- Da für jedes das Quadrat eine selbstadjungierte symmetrische komplex-lineare Abbildung auf ist, schließt sich der Argumentations-Kreis: Der Schnitt der Möbiusquadrik mit eine 2.ten Quadrik wird im Geradenraum durch eine HERMITEsche Form beschrieben. Die dazugehörende bizirkulare Quartik ist Integralkurve des durch definierten quadratischen Feldes.