Com calcular perímetres II

Autor:
dorrod

Longitud de la circumferència i dels seus arcs.

Tasca

Donats una circumferència de centre K i radi r, un punt P del pla:

  • és exterior a la circumferència quan , és a dir, la distància del punt al centre és major que el radi.
  • és interior a la circumferència quan
  • és de la circumferència quan [math]PK=r, és a dir, la distància del punt al centre és el radi.
Mira amb detall la construcció anterior la qual serveix per traçar les dues rectes tangents interiors a dues circumferències donades, l'una exterior a l'altra. (dues circumferències són exteriors, si tots els punts d'una són exteriors a l'altra i recíprocament) Pots anar cap endavant o cap enrere amb els botons de la part inferior de l'applet. Pots canviar de posició els punts blaus, però no pas de la resta de punts. Redacta el protocol de traçat de les rectes tangents interiors a dues circumferències donades mitjançant 22 instruccions cadascuna de les quals s'ha de correspondre amb un dels 22 passos de la construcció de l'applet. Les instruccions haurien de començar així: 1. En primer lloc es tria un punt qualsevol que servirà com a centre de la primera circumferència.

Tasca

Mira la informació textual que apareix a la gràfica, segons vas canviant la posició d'algun dels punts blaus. a) Explica què ocorre. b) Fent servir la informació del text, comprova que la circumferència és la transformada de la circumferència per una homotècia de centre O. c) Afegeix un quadre de text en el que es determini la raó d'aquesta homotècia, fent servir les mesures dels segments homòlegs i .

Càlcul efectiu de la longitud dels arcs de circumferència.



Del fet que donades dues circumferències qualssevol, existeix una homotècia directa o inversa que transforma l'una en l'altra es dedueix que ., és a dir, la longitud de la circumferència s'expressa en funció del seu radi o diàmetre Si en comptes d'una circumferència sencera tenim només un arc , per calcular la seva longitud, aplicarem la relació existent entre variables directament proporcionals que recordem: Si i són variables directament proporcionals llavors roman constant tot i que canviïn els valors de les variables, i.e., , . Recorda que donada una circumferència es diu angle central a qualsevol angle el vèrtex del qual és el centre de la circumferència. Si els costats d'un angle central (centre, O) tallen una circumferència als punts A i B, llavors les variables mesura de l'angle central i longitud de l'arc són directament proporcionals. Com a conseqüència de l'afirmació anterior, es tindrà que on s'expressa en graus sexagesimals i per tant el càlcul de la longitud d'un arc de circumferència es redueix a: . De la mateixa manera es té que on s'expressa en radiants i per tant, el càlcul de la longitud d'un arc de circumferència es redueix a: que es llegeix de la següent forma:

La longitud d'un arc central (s) és igual al producte de l'angle central que l'abasta (expressat en radiants), , pel radi, r, de la circumferència de la qual és arc: