I punti di non derivabilità

Abbiamo definito la derivata come limite per del rapporto incrementale:



In questo capitolo ci poniamo il problema del caso in cui questo limite NON esiste, ovvero i punti in cui NON riusciamo a calcolare il limite, e quindi in cui la derivata NON esiste. Tali punti si dicono punti di non derivabilità. Nella seguente animazione ricapitoliamo il concetto di derivata e vediamo i vari casi di non derivabilità. Il primo obiettivo è quello di approfondire il concetto di derivata e verificarne la nostra comprensione; vedremo in seguito che queste considerazioni hanno anche un'utilità pratica.
Vediamo alcune osservazioni ulteriori. Nel secondo e nel terzo caso, dove sono stati presentati funzione di esempio di flessi verticali e di cuspidi, abbiamo visto che per individuare i punti di non derivabilità non abbiamo bisogno di studiare il limite del rapporto incrementale: possiamo considerare direttamente il dominio della funzione derivata. Ad esempio considerando la funzione abbiamo calcolato la derivata utilizzando la regola di derivazione della potenza ed ottenendo , dopo di che per ottenere i punti di non derivabilità ci è bastato considerare il dominio della funzione derivata , definito dalle C.E. . La derivata della funzione non esiste quindi in , che è quindi un punto di non derivabilità. Per capire di quale tipo di punto si tratti studiamo il limite per della derivata. Notiamo inoltre che i punti di non derivabilità possono essere degli estremi relativi (cioè punti di massimo o minimo relativo) della funzione, e quindi vanno considerati con attenzione quando cerchiamo tali punti durante lo studio di funzione. Riconsiderando gli esempi presentati sopra si vede che i punti di flesso non sono degli estremi relativi, mentre le cuspidi sì. I punti angolosi possono essere degli estremi relativi, ma non lo sono necessariamente. Approfondiamo questo tipo di punti di non derivabilità nell'animazione qui sotto.
Nella funzione in esempio, i punti angolosi erano punti di estremi relativi della funzione. Nella figura sotto puoi vedere però che un punto angoloso non è necessariamente anche un punto di estremo relativo, e quindi va valutato caso per caso.
Il punto A è un punto angoloso ma non è un punto di estremo relativo.
Il punto A è un punto angoloso ma non è un punto di estremo relativo.