La proprietà fondamentale della funzione esponenziale

L'applet che segue mostra la seguente fondamentale proprietà della funzione esponenziale:
  • qualunque funzione esponenziale $y = a^{x}$ trasforma una somma in x in un prodotto in y
  • In altre parole: se si considerano valori successivi di y calcolati per x equidistanti si scopre che il valore successivo di y si ottiene moltiplicando il valore precedente di y per un moltiplicatore fisso che dipende solo dall'incremento fisso subito da x e non dalla posizione iniziale in x.
In pratica, fissato un numero reale k > 0 e calcolato $ si ha che: x x1 x2 = x1 + Δx x3 = x2 + Δx x4 = x3+ Δx ... y1 y2 = k · y1 y3 = k · y2 y4 = k · y3 ... Osserva i punti equidistanti A,B,C,D in rosso e i corrispondenti punti I,J,K,L in azzurro. Puoi modificare la base dell'esponenziale (slider a) e il fattore moltiplicativo (slider k) Puoi verificare che la relazione tra i valori successivi di y resta la stessa indipendentemente dalla posizione dei punti rossi spostandoli trascinando il punto A.
Se l'esponenziale è crescente ed è k = 2 allora Δx viene chiamato periodo di raddoppio, se invece l'esponenziale è decrescente si parla diperiodo di dimezzamento. Il periodo di dimezzamento è una grandezza caratteristica di tutti i fenomeni radioattivi. La radioattività è un fenomeno governato da una legge esponenziale decrescente. Il tempo di dimezzamento di una sostanza radioattiva è il tempo necessario perché metà della massa della sostanza radioattiva si trasformi in qualcos'altro (sperabilmente non più radioattivo).