Triangles et quadrilatère dans un carré
- Auteur :
- Debart Patrice
I, J et K sont les milieux des côtés d'un carré ABCD.
Si M est le point d'intersection de (BK) et (AC), quelle est l'aire du quadrilatère PJCM ?
Calculs d'aires
Triangle BPI
Les droites (BK) et (AJ) sont perpendiculaires
Le triangle rectangle BPI a une aire égale au vingtième de celle du carré.
Étude du triangle KCM
Dans le carré ABCD, les droites (ID) et (BK), joignant deux sommets
opposés aux milieux des côtés opposés, sont parallèles et les points M et M' partagent la
diagonale [AC] en trois parties égales.
Si H est la projection de M sur (CD), MH = 1/3 a et
Aire(KCM) = 1/2 × KC × MH = 1/2 × 1/2 a × 1/3 a = 1/12 a².
Étude du quadrilatère PJCM
Par différence :
Aire(PJCM) = Aire(PJCK) - Aire(KCM)
= 1/5 a² - 1/12 a² = 7/60 a².
Descartes et les Mathématiques - Carré d'aire cinq fois plus petite