Im Fokus: Brennpunkt, Leitkreis
Was ist ein "Brennpunkt"? Was ist ein "Leitkreis", eine "Leitgerade" oder eine "Direktrix"?
Versucht man, sich über diese Fragen schlau zu machen, stößt man auf eine gewisse mathematische Unbestimmtheit: Der Begriff "Brennpunkt" sei entlehnt aus der Optik: "der Ort, in welchem sich Strahlen bündeln". Und zur "Leitgerade" wird meist beispielhaft auf die Parabel verwiesen und der orthoptischen Eigenschaft der Leitgerade: Die Tangenten an die Parabel sind von den Punkte der Leitgerade aus gesehen orthogonal. Das stimmt schon für die Ellipse nicht mehr: weder für den Leitkreis, noch für die Leitgerade.
Wir meinen, dass diese Begriffe möbiusgeometrischer Natur sind. Versteht man Kreisbüschel kinematisch als die Ausbreitung von Wellen von einem oder zwei Büschelpunkten aus, dann kann man in erster Ordnung die Nullstellen der linearen Vektorfelder als Brennpunkte bezeichnen. Kennzeichnend ist, dass Wellenfront und Ausbreitungsrichtung orthogonal sind.
Betrachtet man die Überlagerung von zwei solchen linearen Vektorfelder, so landen wir bei quadratischen Vektorfeldern. Die Nullstellen sind Brennpunkte, von denen, oder zu denen die Wellen sich bewegen. Als Resultierende zweier Wellenbewegungen durch einen Punkt bieten sich die Winkelhalbierenden an. Auch hier hat man es wieder mit zwei orthogonalen Richtungen zu tun. Wie schon erwähnt, können wir über die Integralkurven mehr als die genannte Eigenschaft, Winkelhalbierende zu sein, nichts aussagen. Es gibt unter diesen Integralkurven geschlossene Kurven, über die wir im Falle einer nicht-reellen absoluten Invarianten nichts weiter aussagen können.
Ist jedoch die absolute Invariante der 4 Brennpunkte reell, so sind konfokale bizirkulare Quartiken die Winkelhalbierenden der sich überlagernden Wellenbewegung.
Die Leitkreise
Im obigen Applet sind die Brennpunkte auf dem absoluten Kreis beweglich. Erfasst werden also die Fälle:
- 4 verschiedene Brennpunkte auf einem Kreis: 2-teilige bizirkulare Quartiken
- 2 einfache Brennpunkte und ein doppelt zählender Brennpunkt: man lasse 2 der Brennpunkte zusammen fallen. Konfokale Kegelschnitte (wenn man den doppelt zählenden Brennpunkt als wählt!).
- 1 einfach- und ein dreifach-zählender Brennpunkt (): konfokale Parabeln.
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