Zusammenhänge 1
Die folgenden Seiten sollen die Zusammenhänge zwischen quadratischen Vektorfeldern, symmetrischen komplexen Bilinearformen auf , HERMITE'schen Formen, elliptischen Funktionen und konfokalen bizirkularen Quartiken klären.
Übersicht in Kürze:
Die von einer 2. Bilinearform auf herrührenden quadratischen Vektorfelder besitzen als Lösungen in jedem euklidischen KOS komplex-analytische Funktionen , die jeweils einer elliptischen Differential-Gleichung im weitesten Sinne genügen.
Bei geeigneter Normierung der Bilinearform sind die Kurven und konfokale bizirkulare Quartiken dann und nur dann, wenn die absolute Invariante der 4 Nullstellen, also der Brennpunkte des quadratischen Feldes reell ist.
Die absolute Invariante der 4 Nullstellen ist im Wesentlichen identisch mit der absoluten Invariante der elliptischen Differentialgleichung und der absoluten Invariante der zu der Bilinearform gehörenden selbstadjungierten Abbildung S.
Der Nachweis dieses Zusammenhangs geschieht in mehreren Schritten:
Ist die Invariante reell, so besitzt das quadratische Vektorfeld mindestens eine Symmetrie, es ist also invariant unter einer Kreisspiegelung K. K ist vertauschbar mit der zugehörigen selbstadjungierten Abbildung S.
Mit Hilfe dieser Spiegelung und der charakteristischen Gleichung von S kann man eine Schar Hermitescher Abbildungen konstruieren, für die gilt, wir bezeichnen diese Hermiteschen Abbildungen als Hermitesche Wurzeln von S.
Die Kurven der Schar erweisen sich als konfokale bizirkulare Quartiken, deren Brenn-Punkte die Nullstellen des Vektorfeldes sind.
Diese Kurven entstehen geometrisch aus den Schnitten der Möbiusquadrik im projektiven Raum mit jeweils einer 2. Quadrik. Man kann nachweisen, dass eine Bijektion zwischen diesen Schnittkurven und den Hermiteschen Abbildungen des Geradenraums besteht. Diesen Zusammenhang deuten wir nur an.
Wir leiten die Kurvengleichungen auf einem anderen Wege her: die Spiegelung K zerlegt den Geradenraum in Geraden, welche im durch den Kreispunkt gehen, und solche, die in der Kreisebene liegen.
In der Kreisebene wird durch die selbstadjungierte Abbildung S ein Kegelschnittbüschel erzeugt, welches aus denjenigen Kegelschnitten besteht, die die Tangenten der Brennpunkte mit dem Kreis gemeinsam haben.
Die Projektion dieser Kegelschnitte auf die Möbiuskugel ergibt die konfokale Schar bizirkularer Quartiken.
Offen bleibt die Frage, von welcher Art die Lösungskurven quadratischer Vektorfelder sind, falls die absolute Invariante nicht reell ist. Da elliptische Funktionen dieses Typs doppelt-periodisch sind, gibt es geschlossenen Lösungskurven. Selbst in der "Bibel" über Spezielle Ebene Kurven von H. Wieleitner sind wir zu dieser Frage nicht fündig geworden (Literaturverzeichnis [WIEL]).
Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene.