2.24 Rette tangenti a due circonferenze
Per III.31 O'IO è un angolo retto, di conseguenza per III.16 p è tangente alla circonferenza centrata in O'. Sia P l'intersezione tra la retta p e la perpendicolare a p passante per O. Per costruzione il poligono MIOP è un rettangolo e dunque OP=MI. Visto che per costruzione MI=raggio della circonferenza centrata in O, P appartiene alla circonferenza centrata in O. Dunque, sempre per III.16 p è tangente alla circonferenza centrata in O.
Per III.31 O'KO è un angolo retto, di conseguenza per III.16 q è tangente alla circonferenza centrata in O'. Sia S l'intersezione tra la retta q e la perpendicolare a q passante per O. Per costruzione il poligono KNSO è un rettangolo e dunque OS=KN. Visto che per costruzione KN=raggio della circonferenza centrata in O, S appartiene alla circonferenza centrata in O. Dunque, sempre per III.16 q è tangente alla circonferenzacentrata in O.