¿Todos los triángulos son isósceles? (Ejercicio)
Encuentra el fallo en la siguiente demostración
(Tomado del libro "Geometrical Exercises in Paper Folding", por T. Sundara Row, Addison, Madrás, 1983).
Demostración (Todos los triángulos son isósceles): Sea el triángulo ΔABC y m la mediatriz del lado [BC], D = m∩[BC] y b la bisectriz del ángulo con vértice A. Caso1: b y m no se cortan. Entonces b es paralela a m y por tanto b es ortogonal a la recta BC. Sea σb la simetría con base b. Como rBC es ortogonal a b, σb(rBC)=rBC, y como b es la bisectriz de A, σb(rAB)=rAC, por lo que σb(B)=C y el triángulo es isósceles. Caso2: Existe O=m∩b. Sea s la perpendicular a rAB pasando por O, y E=s∩rAB. Igualmente, sea t la perpendicular a rAC pasando por O y F=t∩rAC. [1] Los triángulos rectángulos ΔAOE y ΔAOF son congruentes pues al ser b la bisectriz del ángulo en A, los ángulos agudos de ambos también coinciden y comparten la hipotenusa. [2] Los triángulos rectángulos ΔOEB y ΔOFC también son congruentes: por estar O en la bisectriz b, se tiene que OE=OF y por estar O en la mediatriz m, OB=OC. Usando estas dos igualdades entre triángulos: AE=AF y EB=FC, por lo que:AB=AE+EB=AF+FC=AC, y el triángulo es isósceles.