Der Fermatsche Punkt

Der Fermatsche Punkt ist jener Punkt, für den die Summe der Abstände zu den Eckpunkten des Dreiecks minimal wird. Aufgabe Versuche durch Bewegen des Punktes P jenen Punkt zu finden, an dem die Summe der Abstände zu den Eckpunkten möglichst klein ist!

Konstruktion des Fermat-Punkts

Über jeder Dreiecksseite a, b und c wird ein gleichseitiges Dreieck errichtet. Verbindet man die neuen Dreieckspunkte A1, B1 und C1 mit den gegenüberliegenden Punkten, so ensteht im Schnittpunkt dieser Verbindungsstrecken der Fermat-Punkt F.

Beweis

Aufgabe Stelle im unten gezeigten Applet den Winkel α auf 60°. Dadurch werden die Punkte P und C in P' und C' gedreht; es entstehen zwei gleichseitige Dreiecke ACC' und APP'. Die drei Abstände von P zu den Eckpunkten A, B und C sind , und und sollen in Summe möglichst klein sein. Wegen und entspricht der Länge des Streckenzugs BPP'C'. Da die kürzeste Verbindung von B zu C' eine Gerade ist, muss der Fermatsche Punkt F auf dieser Geraden liegen. Eine analoge Überlegung für die beiden anderen gleichseitigen Dreiecken zeigt, dass der Fermat-Punkt im Schnittpunkt dieser Verbindungsstrecken liegen muss.