Google Classroom
GeoGebraGeoGebra Classroom

Függvény folytonossága 1.

Az eddig tanult függvények () legtöbbjére igaz, hogy minél jobban megközelítjük a függvény értelmezési tartományának egy adott  pontját, a függvényértékek annál inkább megközelítik az adott pontbeli függvényértéket. Ezt a tulajdonságot a függvény folytonosságának nevezzük, melyet a következő definícióval írunk le pontosan:

Cauchy-féle definíció

Az függvényt folytonosnak nevezzük az értelmezési tartományának egy  pontjában, ha tetszőleges -hoz létezik olyan melyre, ha , akkor  .

Egy függvényt folytonosnak nevezünk, ha értelmezési tartományának minden pontjában folytonos.  Adott az   függvény. Vizsgáljuk ennek folytonosságát különböző pontokban az interaktív alkalmazás segítségével!

1. feladat

Figyeld meg a kiindulási állapotot! Az pont környezetében az függvény mely pontjaira teljesül, hogy a függvényértékek -tól való eltérése legfeljebb 0,05, vagyis 0,05 ?

2. feladat

Közelítsünk jobban! Változtasd értékét a panelen található csúszkán! Állítsd be az értékét 0,03; 0,01; 0,005-re! Olvasd le a hozzájuk tartozó értékeket!

3. feladat

Igaz-e, hogy tetszőlegesen kicsi -hoz találunk az olyan számot, melyre ha az -nak sugarú környezetében van, akkor az -nak sugarú környezetébe esik? Kísérletezz! A képet a görgő segítségével nagyíthatod, -t pedig tovább csökkentheted a csúszkán.

4. feladat

Szemléletünk az mutatja, hogy az adott függvény esetében tetszőleges -hoz találunk megfelelő -t. Hogyan bizonyíthatnánk az állítást?

5. feladat

Mozdítsd el a pontot az -tengelyen! Vizsgáld a fenti tulajdonságot más pontokban is! Folytonosnak mondhatjuk-e az hozzárendelési szabállyal megadott, valós számok halmazán értelmezett függvényt?

Kitekintés

A függvény folytonosságának megfogalmazására más definíciók is léteznek. Heine-féle definíció: Az  függvényt folytonosnak nevezzük az értelmezési tartományának egy  pontjában, ha bármely  esetén