Függvény folytonossága 1.
Az eddig tanult függvények () legtöbbjére igaz, hogy minél jobban megközelítjük a függvény értelmezési tartományának egy adott pontját, a függvényértékek annál inkább megközelítik az adott pontbeli függvényértéket. Ezt a tulajdonságot a függvény folytonosságának nevezzük, melyet a következő definícióval írunk le pontosan:
Cauchy-féle definícióAz függvényt folytonosnak nevezzük az értelmezési tartományának egy pontjában, ha tetszőleges -hoz létezik olyan melyre, ha , akkor .
Egy függvényt folytonosnak nevezünk, ha értelmezési tartományának minden pontjában folytonos. Adott az függvény. Vizsgáljuk ennek folytonosságát különböző pontokban az interaktív alkalmazás segítségével!1. feladat
Figyeld meg a kiindulási állapotot!
Az pont környezetében az függvény mely pontjaira teljesül, hogy a függvényértékek -tól való eltérése legfeljebb 0,05, vagyis 0,05 ?
2. feladat
Közelítsünk jobban!
Változtasd értékét a panelen található csúszkán!
Állítsd be az értékét 0,03; 0,01; 0,005-re!
Olvasd le a hozzájuk tartozó értékeket!
3. feladat
Igaz-e, hogy tetszőlegesen kicsi -hoz találunk az olyan számot, melyre ha az -nak sugarú környezetében van, akkor az -nak sugarú környezetébe esik?
Kísérletezz! A képet a görgő segítségével nagyíthatod, -t pedig tovább csökkentheted a csúszkán.
4. feladat
Szemléletünk az mutatja, hogy az adott függvény esetében tetszőleges -hoz találunk megfelelő -t.
Hogyan bizonyíthatnánk az állítást?
5. feladat
Mozdítsd el a pontot az -tengelyen!
Vizsgáld a fenti tulajdonságot más pontokban is!
Folytonosnak mondhatjuk-e az hozzárendelési szabállyal megadott, valós számok halmazán értelmezett függvényt?
Kitekintés
A függvény folytonosságának megfogalmazására más definíciók is léteznek.
Heine-féle definíció:
Az függvényt folytonosnak nevezzük az értelmezési tartományának egy pontjában, ha bármely esetén