Formule des aires

Bissectrices d'un triangle
Soit [math]t_A[/math][sub][/sub], [math]t_B[/math][sub][/sub] et [math]t_C[/math][sub][/sub] les pieds des bissectrices, intersections des bissectrices intérieures avec les côtés d'un triangle ABC.[br]Les trois bissectrices ([math]It_A[/math]), ([math]It_B[/math]), ([math]It_C[/math]) sont concourantes en un même point I, centre du cercle inscrit dans le triangle (tangent intérieurement aux trois côtés du triangle).[br][br]Cercle inscrit dans un triangle[br]Soit I le centre du cercle ([i]c[/i]), inscrit dans le triangle ABC, et [i]r[/i] son rayon.[br]Le cercle ([i]c[/i]) est tangent aux côtés du triangle en [math]i_A[/math], [math]i_B[/math] et [math]i_C[/math].
Formule des aires
Le triangle ABC est décomposable en trois triangles IBC, ICA, IAB,[br]de sommet I et de hauteurs [math]Ii_A[/math], [math]Ii_B[/math] et [math]Ii_C[/math] de même longueur [i]r[/i].[br][br]Aire(IBC) = [math]\frac{1}{2}BC\times Ii_A=\frac{1}{2}a\times r[/math] ; Aire(IAC) = [math]\frac{br}{2}[/math]; Aire(IAB) = [math]\frac{cr}{2}[/math].[br]L'aire S du triangle ABC est donc : S= aire(ABC) = Aire(IBC) + Aire(IAC) + Aire(IAB) [br]S = [math]\frac{ar}{2}[/math] + [math]\frac{br}{2}[/math] + [math]\frac{cr}{2}[/math] = [math]\frac{a+b+c}{2}×r[/math] = [i]p × r[/i].[br]Donc S = [i]pr[/i] et [i]r[/i] = [math]\frac{S}{p}[/math] = [math]\frac{2S}{a+b+c}[/math] [br][br]Descartes et les Mathématiques - La géométrie du triangle[br][url=http://debart.pagesperso-orange.fr/geoplan/relation_metrique.html#aire]Relations métriques dans le triangle[/url]

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