Differentialrechnung - Maxima und Minima

Differentialrechnung - Extrema Mit diesem interaktiven Arbeitsblatt kannst du mittels einer vorgegebenen Funktion erarbeiten, wie man Extrema, also Maxima und Minima, dieser Funktion mit Hilfe der Differentialrechnung bestimmt. Die zu der Funktion f(x) zugehörigen Ableitungsfunktionen der ersten und zweiten Ableitung f'(x) und f''(x) und die Tangenten an f(x) und f'(x) werden als Graphen ebenfalls dargestellt. Die Zusammenhänge zwischen f(x), f'(x) und f''(x) werden sichtbar.
Aufgaben 1. a) Die Funktion f(x) wird als Graph (schwarz) dargestellt. Auf dem Graphen ist der Punkt A beweglich und verschiebbar. Bewege ihn hin und her. Mit dem Punkt A wird die Vertikale a (grün gestrichelt) angezeigt. In der Bildmitte oben wird der entsprechende Abszissenwert und der dazugehörige Ordinatenwert (Funktionswert) von f(x) angezeigt. 2. a) Blende jetzt die Tangente an f(x) ein (Gerade b). Mit ihr wird das Steigungsdreieck im Punkt A angezeigt. An dem Wert m0 kannst du die jeweilige Steigung im Punkt A ablesen. Mache dir nochmals klar, was eine Steigung von m0=+1, m0=-1 und m0=0 bedeutet. b) Stelle diese Steigungen ein. c) Versuche jetzt herauszufinden, an welchen Stellen die Steigung gleich Null ist ( m0=0 ). d) Überlege, ob die Steigung zum Bestimmen von Extrema geeignet ist. e) Wäre eine Steigung m0=0 eine "notwendige" oder "hinreichende" Bedingung für die Existenz von Extrema? 3. a) Blende jetzt die 1. Ableitung f'(x) ein. Sie erscheint als Graph (rot) mit dem Punkt B. In der Bildmitte oben wird der entsprechende Abszissenwert und der dazugehörige Ordinatenwert (Funktionswert) von f'(x) angezeigt. b) Bewege den Punkt A zu den Stellen, an denen die Steigung m0=0 ist, also die Tangente an f(x) horizontal verläuft. Welchen Wert haben an diesen Stellen die Funktionswerte von f'(x)? c) Da die Steigung von f(x) durch die 1. Ableitung von f(x) repräsentiert wird, überlege analog zu Aufgabe 2, ob die 1. Ableitung von f(x) zum Bestimmen von Extrema geeignet ist. d) Wenn man die erste Ableitung gleich Null ( f'(x) = 0 ) setzen würde, wäre dies eine "notwendige" oder "hinreichende" Bedingung für die Existenz von Extrema? 4. a) Blende die wirklichen Extrema von f(x) ein. Es erscheinen die Extremalpunkte E und F auf dem Graphen von f(x). An diesen Punkten ist die Steigung auf jeden Fall gleich Null (m0=0), die Tangente an f(x) also horizontal. b) Es gibt aber einen Punkt, der nicht Extrempunkt ist und an dem die Steigung ebenfalls m0=0 ist. Wo liegt der Punkt? Der gefundene Punkt heißt "Sattelpunkt". 5. a) Schalte die Tangente an die 1. Ableitung hinzu. Sie wird als Tangente (rot) im Punkt B geführt. b) Fahre den Punkt A in den Extrempunkt E (Maximum). Hier wird f'(x)=0. Welche Steigung hat die Tangente an f'(x) im Maximum? c) Fahre den Punkt A in den Extrempunkt F (Minimum). Hier wird f'(x)=0. Welche Steigung hat die Tangente an f'(x) im Minimum? d) Fahre den Punkt A in den Sattelpunkt. Hier wird ebenfalls f'(x)=0. Welche Steigung hat die Tangente an f'(x) im Sattelpunkt? e) Notiere dir die Beobachtungen zu den Bedingungen für die Steigung von f'(x) im Maximum, Minimum als auch im Sattelpunkt. f) Beantworte dir die Frage, mit welcher Ableitung von f(x) du dir die Steigungen an f'(x) veranschaulichen kannst? 6. a) Klar, die 2. Ableitung von f(x) ist die richtige Antwort. Schalte diese jetzt hinzu. Sie erscheint als Graph (blau) mit dem Punkt C. In der Bildmitte oben wird der entsprechende Abszissenwert und der dazugehörige Ordinatenwert (Funktionswert) von f''(x) angezeigt. b) Fahre den Punkt A in den Extrempunkt E (Maximum). Hier wird f'(x)=0. Welches Vorzeichen hat die 2. Ableitung von f(x) im Maximum? c) Fahre den Punkt A in den Extrempunkt F (Minimum). Hier wird f'(x)=0. Welches Vorzeichen hat die 2. Ableitung von f(x) im Minimum? d) Fahre den Punkt A in den Sattelpunkt. Hier wird ebenfalls f'(x)=0. Welchen Wert hat die 2. Ableitung von f(x) im Sattelpunkt? e) Notiere dir die Beobachtungen zu den Bedingungen für 2. Ableitung von f(x) im Maximum, Minimum als auch im Sattelpunkt. 7. Fazit a) In Extrempunkten hat die 1. Ableitung von f(x) den Wert gleich Null. Bedingung für Extrema: f'(x)=0 Wenn wir diese Gleichung nach x auflösen, dann erhalten wir die Extremalstellen xE für die Funktion f(x), an denen Extrempunkte auftreten können. b) Diese Bedingung ist aber keine "hinreichende" Bedingung, da es neben den Extrema auch Sattelpunkte gibt, für die diese Bedingung auch zutrifft. Die Bedingung f'(x)=0 für die Existenz von Extrema ist eine "notwendige", aber keine "hinreichende" Bedingung. c) An Maxima ist die 2. Ableitung von f(x) negativ, an Minima positiv und an Sattelpunkten gleich Null. Daraus können wir das "hinreichende" Kriterium für die Existenz von Extrema ableiten: Bedingung (hinreichend) für Extrema: f''(xE)<>0 d) Um bei Extrema zwischen Maxima und Minima zu unterscheiden, können wir folgenden Sachverhalt festhalten: f''(xE)<0 => Maximum f''(xE)>0 => Minimum Heinz Lindner, Dresden, www.lindner-dresden.de - Analysis www.lindner-dresden.de/analysis.htm