Inyectiva, Sobreyectiva, Biyectiva e Inversa

Autor:
JLF

1. Introducción

Supondremos que ya conocemos el concepto de una función (o aplicación) f entre dos conjuntos X (dominio) e Y (imagen): Recordamos que si x es un elemento del dominio, X, su imagen mediante f es el elemento f(x) de Y. Por tanto, f(X) está contenido en Y. Recíprocamente, si y es un elemento de Y, entonces puede existir un elemento x (pueden ser más de uno) tal que f(x) = y. Decimos que x es la anti-imagen de y. En todo el texto trabajaremos con la función f con dominio X e imagen Y.

2. Funciones Inyectivas

Una función es inyectiva si para todo x e y distintos de X sus imágenes f(x) y f(y) son distintas. Es decir, una función es inyectiva cuando las imágenes de elementos distintos son distintas. Ejemplos:
  • La función identidad f(x) = x es inyectiva. La demostración es la siguiente: Supongamos que x e y son distintos. Entonces, f(x) es distinto de f(y) ya que f(x) = x que es distinto de y = f(y).
  • La función nula f(x) = 0 no es inyectiva porque las imágenes siempre son 0. Por ejemplo, 1 es distinto de 2 pero sus imágenes son f(1) = 0 = f(2).
  • La función no es inyectiva porque, por ejemplo. f(2) = 4 = f(-2).

3. Funciones Sobreyectivas

Una función es sobreyctiva (o suprayectiva) si todos los elementos de la imagen, Y tienen anti-imagen. Es decir, si para cualquier y de la imagen Y existe al menos un elemento x de la imagen tal que f(x) = y. Notemos que esta propiedad es independiente de la inyectividad. Ejemplos:
  • La función identidad f(x) = x de los reales en los reales es sobreyectiva ya que cualquier real y tiene la anti-imagen x de X.
  • La función f(x) = |x| de los reales en los reales no es sobreyectiva ya que los números negativos no tienen anti-imagen. La función f(x) = |x| considerada de los reales positivos en los reales positivos es sobreyectiva.
Nótese (ejemplo 2 y 3) que la propiedad de ser sobreyectiva depende de los conjuntos que se consideren.

4. Función Biyectiva e Inversa

Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva. En tal caso, existe una función g, llamada función inversa, tal que para todo x del dominio, y para todo y de la imagen Normalmente, la función inversa de se denota por en lugar de . Ejemplos:
  • La función es biyectiva y su inversa es
  • La función de los reales no negativos en los reales no negativos es biyectiva y su inversa es .