Espacio cociente. Diferencia de vectores.
- Autor:
- cafernan
- Tema:
- Vectores
Una construcción muy útil es la de espacio vectorial cociente. Al hacer un cociente uno se olvida de ciertas propiedades de los vectores y se concentra únicamente en otras, "identificando" como uno solo ciertos conjuntos de vectores: aquellos relacionados entre sí por una relación de equivalencia forman una clase de equivalencia. En el caso de los espacios vectoriales se parte de un espacio \(E\) y un subespacio vectorial suyo \(F\). La relación de equivalencia para tomar el conjunto cociente \(E/F\) es
\[v\sim w \iff v-w\in F\,.\]
Y los elementos de \(E/F\), las clases de equivalencia, son de la forma \[[v]=\{w,\, w\sim v\}=\{w,\, v-w\in F\}\,.\]
La suma en \(E/F\) se define sumando dos representantes cualesquiera de las clases,
\[\begin{array}{cccc}+: & E/F \times E/F & \rightarrow & E/F \\& ([v],[w]) & \mapsto & [v]+[w]=[v+w]\end{array},\]
que se puede demostrar está bien definida (no depende de la elección de representantes).
El producto por escalares se define igualmente usando un representante de la clase:
\[\begin{array}{cccc}\cdot\,: & \K \times E/F & \rightarrow & E/F \\& (\lambda,[v]) & \mapsto & \lambda[v]=[\lambda v]\end{array}.\]
En primer lugar, recordemos la interpretación geométrica de la diferencia de vectores. En el siguiente applet, se pueden cambiar los vectores \(u\) y \(v\) moviendo los respectivos puntos en sus extremos.
El vector diferencia \(u-v\) es equipotente al vector libre entre el extremo de \(v\) y el extremo de \(u\).