Parallélogramme dans un tétraèdre

ABCD est un tétraèdre, I et J sont les milieux respectifs de [AC] et [BD][br][br]- Montrer l'égalité vectorielle [math]\vec{AD} + \vec{CB} = 2 \vec{IJ}[/math][br][br]- Soit [i]k[/i] un réel donné dans l'intervalle ]0, 1[.[br]On définit les points M, N, P, Q par :[br][math]\vec{AM} = k \vec{AB} ; \vec{AN} = k \vec{AD} ; \vec{CP} = k \vec{CD} ; \vec{CQ} = k \vec{CB}.[/math][br][br]Montrer que MNPQ est un parallélogramme. Soit K son centre.[br]Montrer que [math]\vec{IK} = k \vec{IJ}[/math], donc que K appartient au segment [IJ].[br]Pour [math]k = \frac1 2[/math], on trouve que K, centre de gravité du tétraèdre, est le milieu des trois segments dont les extrémités sont les milieux des arêtes opposées.[br][br]Démontrer qu'étant donné un point K du segment [IJ], il existe un unique point N de [AD] et un unique point Q de [BC] tels que K soit le milieu de [NQ].
Descartes et les Mathématiques : [url=http://www.debart.fr/geogebra_3D/geogebra_3D_sect_tetra.html][color=#0066cc]sections de tétraèdre par un plan[/color][/url]

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