Hauteur de l'un, médiane de l'autre

Deux demi-carrés autour d'un triangle ABC
ABC est un triangle quelconque.[br]On construit extérieurement à ce triangle les triangles rectangles isocèles ACQ et ABR, rectangles en À les milieux des hypoténuses sont  [math]O_B[/math] et [math]O_C[/math].[br]On construit aussi le parallélogramme AQKR de centre J.[br]Montrer que la droite (AJ) est une hauteur du triangle ABC et que AK = BC.
Démonstration
[i]Un triangle, deux demi-carrés autour du triangle : une configuration d'une grande richesse pouvant être traités aux trois niveaux du lycée.[/i][br][br]La rotation de centre A et d'angle 90° transforme C en Q.[br]La translation de vecteur AR transforme Q en K.[br]La composée de ces deux transformations transforme C en K, A en R.[br]C'est une rotation d'angle 90° ; son centre est [math]O_C[/math].[br]B a donc pour image A ; [BC] a pour image [AK] ; d'où BC = AK et (BC) est perpendiculaire à (AK).[br][br]Donc (AK) passe par le milieu du parallélogramme AQKR, c'est la médiane (AJ) de AQR,  (AK) perpendiculaire à (BC) est aussi la hauteur de ABC.[br][br][url=https://www.geogebra.org/m/CNaNxPa5]Deux carrés autour d'un triangle - hauteurs - médianes[/url][br]      [url=https://www.geogebra.org/material/show/id/136403][color=#0066cc]Médiane de l'un, hauteur de l'autre[/color][/url][br][br]Descartes et les Mathématiques - [url=http://debart.pagesperso-orange.fr/geoplan/carre-autour-triangle.mobile.html#ch3]deux demi-carrés autour de BOA[/url]

Information: Hauteur de l'un, médiane de l'autre