Fahrradtour durch Lissabon

Autor:: KGMWS, Andreas Lindner

Das folgende Schaubild zeigt das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm einer Fahrradtour durch Lissabon. Welchen Weg hat der Radfahrer in Lissabon während einer Fahrradtour in 1,2 Stunden zurückgelegt?

Schätzen

Versuche den zurückgelegten Weg (=Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse) im Intervall [0;1,2] näherungsweise zu bestimmen. a) Schätze den Flächeninhalt. b) Zähle die einzelnen Kästchen ab. c) Berechne die Fläche, indem du sie in einfache geometrische Figuren zerlegst.

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Rechtecke zur Annäherung

Ein Mathematiker names Riemann hatte zu diesem Flächeninhaltsproblem eine Idee: Man kann den Flächeninhalt mit einfachen Rechtecksflächen annähern. Dazu bildet man die Obersumme und Untersumme. Doch was versteht man darunter? Führe nun die folgenden Schritte aus, verwende für die Erarbeitung dein Arbeitsblatt. Hilfe findest du durch Anklicken des Hilfekastens in der Graphik.

Zerlege das Intervall das Intervall [0;1,2] in sechs gleich große Teilintervalle. Die Breite eines Teilintervalls bezeichnen wir mit x.
Aktiviere nun in der darunter stehenden Graphik nacheinander die Kästchen "Obersumme" und "Untersumme".
Beschreibe in eigenen Worten auf dem Arbeitsblatt "Obersumme" und "Untersumme". Übertrage die Rechtecksflächen auf dein Arbeitsblatt. ("Obersumme" verstanden? Test unter der Abbildung.)
Berechne nun die Obersumme und die Untersumme. Verwende hierfür die Werte aus der Wertetabelle neben dem Schaubild. Für die Rechnung ist Platz auf dem Arbeitsblatt vorgesehen.

Hast du es verstanden?

Die Obersumme...

Wähle alle richtigen Antworten aus

A
ist die Summe der beiden Extremwerte.
B
ist die Summe aller Rechtecksflächen, die "zu groß" sind.
C
ist die Summe aller Rechtecksflächen, die "zu klein" sind.
D
berechnet man, indem man jeweils den größeren der beiden Funktionswerte des Teilintervalls als Höhe eines Rechtecks wählt.
E
setzt sich aus allen größtmöglichen Rechtecksflächen zusammen, die unter den Graphen passen.

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Diese Antworten sind richtig: "Ist die Summe aller Rechtecksflächen, die "zu groß" sind" sowie "berechnet man, indem man jeweils den größeren der beiden Funktionswerte des Teilintervalls als Höhe wählt."

Obersumme und Untersumme bei einer feineren Unterteilung...

Stelle zunächst eine Vermutung auf, wie sich die Werte für eine immer größer werdende Anzahl an Rechtecken entwickeln. Verändere nun die Unterteilung des Intervalls [0;1,2] mit dem Schieberegler. Unten links in der Ecke kannst du auf "Play" drücken und dir die Animation anschauen. Beschreibe deine Beobachtung. Gebe erneut einen Näherungswert für den zurückgelegten Weg des Radfahrers an.

Vergleiche nun deinen Schätzwert aus dem letzten Aufgabenteil mit deinen Schätzwerten aus dem ersten Aufgabenteil.

Willst du den exakten Wert für den zurückgelegten Weg des Fahrradfahrers wissen?

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Zusatzfrage

Wie groß muss die Unterteilung n gewählt werden, damit die Differenz zwischen Obersumme und Untersumme kleiner als 0,5 ist?

Für ganz schnelle...

Überlege dir eine kleine Geschichte, wie die Fahrradtour verlaufen könnte. Höhen, Tiefen, Schwierigkeiten? Ist das Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm realistisch?