Pythagorova věta - důkazy
- Autor:
- Šárka Voráčová
Eukleides
Eukleides, Základy, kniha I, věta 47, přeložil Fr. Servít 1907
V pravoúhlých trojúhelnících je čtverec nad přeponou roven součtu čtverců nad odvěsnami.
- Čtverec FBAG nad odvěsnou má dvakrát větší obsah než trojúhelník FBC, jelikož mají společnou strana FB a shodnou výšku.
- Trojúhelníky ABD a FBC jsou shodné dle věty sus.
- Obdélník BDLJ nad odvěsnou má dvakrát větší obsah než trojúhelník BDA, jelikož mají společnou strana BD a shodnou výšku.
- Dokázali jsme, že čtverec FBAG má stejný obsah jako obdélník BDLJ (Eukleidova věta o odvěsně).
- Dle stejného postupu je i obsah čtverce ACKL stejný jako obsah obdélníku LECJ.
- Celý čtverec BDEC rovná se součtu čtverců FBAG a ACKL.
Důkaz 2 - tangram
Důkaz 3 - indický matematik Bhaskara II, 12. st. n. l.
Nejprve sestrojíme čtverec se stranou c, potom sestrojíme libovolný vrchol pravoúhlého trojúhelníka s přeponou c a vytvoříme jeho tři kopie nad zbývajícími stranami. Pokud náš trojúhelník nebyl rovnoramenný, vznikne uvnitř čtverce malý čtverec se stranou a-b. Dopočítáním úhlů v trojúhelnících dokážeme, že jsou jeho úhly pravé. Odtud přerovnáním, nebo pomocí algebraického zápisu plyne:
Důkaz pro rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník
Více informací o důkazech Pythathagorovy věty:
R. Hašek: Perigalův důkaz Pythagorovy věty, online materiál na serveru Geogebra
František Kuřina: Matematika a řešení úloh, České Budějovice, 2011
Martin Vinkler: M - Pythagorova věta, Eukleidovy věty, GeoGebraBook
Michal Čučka: Pythagorova věta a její důkazy, diplomová práce, Brno 2007, s. 26-30
Cut the Knot: Pythagorean Theorem
Pink Cree, Š. Voráčová: Pythagorean tangram, online materiál na serveru Geogebra
Pauline K: Pythagoras: Based on Bhaskara's Proof, online GeoGebra materiál
realisticky.cz: "Důkazy Pythagorovy věty" studijní materiál pro základní školu, záložka Učebnice, Matematika ZŠ, 7. ročník