Johdanto
- Author:
- P Porras
Kauhistuttiko kännykkälaskusi? Yllättikö vaatimus palautettavasta opintorahasta? Monissa jokapäiväisissä tilanteissa eri suureiden välillä on riippuvuus: kännykkälaskuun vaikuttaa soitettujen puheluiden aika ja palautettavaan opintotukeen ansaitut palkat. Matematiikassa näitä riippuvuuksia kutsutaan funktioiksi.
Yleisimmin funktiota merkitään f(x), missä f on funktion nimi ja x on muuttuja eli suure, jonka arvojen muuttuminen vaikuttaa lopputulokseen. Edellisessä esimerkissä funktiona voisi olla esimerkiksi kännykkälasku, jonka muuttujana on soitetut puhelut (aika) ja lähetetyt tekstiviestit (lkm).
Esimerkki 1. Erään liittymän kohdalla annettiin seuraavat tiedot: Liittymällä puhut vain 0,069 euroa per minuutti ja lähetät tekstiviestit kaikkiin kotimaan suuntiin 0,069 euroa / kpl. Vain 0,66 euron kuukausimaksuakaan tuskin huomaat.
Määritetään funktio kuvaamaan kännykkälaskun suuruutta.
Ratkaisu 1. Kännykkälaskua kuvaava funktio muodostuu tässä tapauksessa seuraavasti. Kuukausimaksu 0,66 euroa menee, vaikka ei soittaisi eikä lähettäisi tekstiviestejä ollenkaan. Minuuttimaksu puheluille on 0,069 euroa ja tekstiviestit maksavat 0,069 euroa kappale. Funktion muuttujiksi voidaan valita
t = "soitettujen puheluiden yhteenlaskettu aika" ja
x = "lähetettyjen tekstiviestien lukumäärä".
Jos funktion nimeksi valitaan känny, niin funktio olisi muotoa
känny(t, x) = 0,66 + 0,069t + 0,069x,
missä vakio 0,66 kuvaa pakollista kuukausimaksua. Tässä tapauksessa muuttujia on enemmän kuin yksi, mikä on hyvin normaalia soveltavissa tehtävissä.
Otto Opiskelija puhui kyseisellä liittymällä 28 min kuukauden aikana ja lähetti 13 tekstiviestiä. Tällöin kännykkälaskun suuruudeksi saadaan yo. funktion avulla
känny(28, 13) = 0,66 + 0,069 × 28 + 0,069 × 13 = 3,49 (euroa),
Myös funktioiden nimet kannattaa valita mahdollisimman kuvaaviksi. Funktion nimenä känny on hieman pitkä usein kirjoitettavaksi mutta kuvaa tilannetta paremmin kuin pelkkä f.
Funktion määrittelyjoukko tarkoittaa niitä muuttujan arvoja, jotka voidaan sijoittaa funktion lausekkeeseen. Määrittelyjoukkoon eivät siis kuulu esimerkiksi nimittäjän nollakohdat tai arvot, jotka tekevät neliöjuurilausekkeen arvon negatiiviseksi. Joillakin erikoisfunktiolla on myös omia rajoituksia, jotka on huomioitava. Polynomifunktiot ja trigonometriset sini- ja kosinifunktiot ovat tunnetusti jatkuvia kaikkialle eli niiden määrittelyjoukko on koko reaalilukujen joukko R.
Funktion arvojoukko tarkoittaa niitä funktion arvoja, jotka saadaan sijoittamalla määrittelyjoukon sallimat muuttujan arvot funktion lausekkeeseen. Sinifunktio on määritelty kaikkialla mutta aina sinifunktion arvo on pienimmillään -1 ja suurimmillaan 1. Sinifunktion arvojoukko on siis [-1, 1].