Johdanto

Author:
P Porras
Kauhistuttiko kännykkälaskusi? Yllättikö  vaatimus palautettavasta opintorahasta? Monissa jokapäiväisissä tilanteissa eri  suureiden välillä on riippuvuus: kännykkälaskuun vaikuttaa soitettujen  puheluiden aika ja palautettavaan opintotukeen ansaitut palkat. Matematiikassa  näitä riippuvuuksia kutsutaan funktioiksi. Yleisimmin  funktiota merkitään f(x), missä  f on funktion nimi ja x on muuttuja eli suure, jonka arvojen  muuttuminen vaikuttaa lopputulokseen. Edellisessä esimerkissä funktiona voisi  olla esimerkiksi kännykkälasku, jonka muuttujana on  soitetut  puhelut (aika) ja lähetetyt tekstiviestit (lkm).  Esimerkki 1. Erään liittymän kohdalla annettiin  seuraavat tiedot:  Liittymällä puhut vain 0,069 euroa per minuutti ja lähetät  tekstiviestit kaikkiin kotimaan suuntiin 0,069 euroa / kpl. Vain 0,66 euron  kuukausimaksuakaan tuskin huomaat. Määritetään funktio kuvaamaan  kännykkälaskun suuruutta. Ratkaisu 1. Kännykkälaskua  kuvaava funktio muodostuu tässä tapauksessa seuraavasti. Kuukausimaksu 0,66  euroa menee, vaikka ei soittaisi eikä lähettäisi tekstiviestejä ollenkaan.  Minuuttimaksu puheluille on 0,069 euroa ja tekstiviestit maksavat 0,069 euroa  kappale. Funktion muuttujiksi voidaan valita t =  "soitettujen puheluiden yhteenlaskettu aika" ja x = "lähetettyjen  tekstiviestien lukumäärä". Jos funktion nimeksi valitaan känny,  niin funktio olisi muotoa  känny(t, x) = 0,66 + 0,069t + 0,069x, missä vakio 0,66 kuvaa pakollista kuukausimaksua.  Tässä tapauksessa muuttujia on enemmän kuin yksi, mikä on hyvin normaalia  soveltavissa tehtävissä. Otto Opiskelija puhui kyseisellä liittymällä 28 min  kuukauden aikana ja lähetti 13 tekstiviestiä. Tällöin kännykkälaskun suuruudeksi  saadaan yo. funktion avulla  känny(28, 13) = 0,66 + 0,069 ×  28 + 0,069 × 13 = 3,49 (euroa), Myös funktioiden nimet kannattaa valita mahdollisimman  kuvaaviksi. Funktion nimenä känny on hieman pitkä usein  kirjoitettavaksi mutta kuvaa tilannetta paremmin kuin pelkkä f.   Funktion määrittelyjoukko tarkoittaa niitä  muuttujan arvoja, jotka voidaan sijoittaa funktion lausekkeeseen.  Määrittelyjoukkoon eivät siis kuulu esimerkiksi nimittäjän nollakohdat tai  arvot, jotka tekevät neliöjuurilausekkeen arvon negatiiviseksi. Joillakin erikoisfunktiolla on myös omia rajoituksia, jotka on huomioitava. Polynomifunktiot ja trigonometriset sini- ja kosinifunktiot ovat  tunnetusti jatkuvia kaikkialle eli niiden määrittelyjoukko on koko reaalilukujen  joukko R. Funktion arvojoukko tarkoittaa niitä funktion arvoja, jotka saadaan sijoittamalla  määrittelyjoukon sallimat muuttujan arvot funktion lausekkeeseen. Sinifunktio on  määritelty kaikkialla mutta aina sinifunktion arvo on pienimmillään -1 ja  suurimmillaan 1. Sinifunktion arvojoukko on siis [-1, 1].