Calculer avec des droites
- Auteur :
- Christian Mercat
On peut bien sûr ajouter des longueurs. En ajoutant la même longueur, on obtient l'addition itérée, c'est-à-dire la multiplication par un nombre entier. En coupant une longueur en parties égales, on obtient également la division par des nombres entiers, ce qui est possible en comparant le segment avec un segment construit comme autant de parties égales. En composant ces deux multiplications, on obtient la multiplication par des rationnels. Mais peut-on mutliplier des longueurs entre elles?
Pour un Grec, la multiplication est... multiple. Il y a d'abord la multiplication homogène, comme addition itérée d'une longueur, comme fraction d'une longueur (division par un entier), et comme produit par un rationnel, donnant une longueur.
Mais il y a également le produit hétérogène, qui a deux longueurs associe une grandeur différentes, une aire, comme surface délimitée par un rectangle de côtés donnés. On peut se ramener à une opération homogène, à une longueur, en comparant ce rectangle à un carré de même aire. Ce qu'on comprend comme la moyenne géométrique des deux longueurs, ce n'est pas leur produit.
Ces deux types de multiplications, tout à fait différentes, ne sont pas homogènes, soit c'est un scalaire rationnel produit par une longueur qui donne une longueur, soit c'est un produit de deux longueurs qui donne une aire.
Pour avoir un produit homogène, il faut une unité.
Cette unité 1 étant donnée, on peut alors, en utilisant judicieusement le théorème de Thalès, construire, à l'aide d'un point 1' extérieur auxiliaire, on peut alors construire géométriquement le carré d'une longueur, son inverse, le produit de deux longueurs.