Zusammenhänge 6
Wurzeln und Inverse
Es sei eine selbstadjungierte Abbildung mit .
Das charakteristische Polynom bedeutet für : .
Wir suchen "Wurzeln" von . Damit ist folgendes gemeint: Die Schar stimmt auf der Möbiusquadrik in mit überein. Als Wurzel von bezeichnen wir eine selbstadjungierte Abbildung mit . Auflösung der Suche:
- Die Schar ,
- , ist bis auf einen Faktor die Inverse von .
- Bei geeigneter Normierung ist besitzt in einer geeigneten Basis eine reelle Matrix.
- Es existiert mindestens eine Spiegelung , welche das Vektorfeld invariant läßt.
- ist mit der zugehörigen selbstadjungierten Abbildung vertauschbar.
- Die Schar hermitescher Abbildungen sind die HERMITEschen Wurzeln von .
- Die konfokalen bizirkularen Quartiken sind Integralkurven des quadratischen Vektorfeldes.
Quadrikbüschel und Quadrikschar bei reeller absoluter Invariante
Ist die absolute Invariante reell, so gibt es mindestens eine Spiegelung K und eine dazugehörende reelle Zerlegung von . Dabei besteht aus allen Geraden in der Kreisebene, und aus allen Geraden im Raum, die durch den Pol des Kreises gehen. Das Büschel von selbstadjungierten Abbildungen läßt beide reellen Teilräume invariant.
Wir betrachten zunächst den Fall von 4 verschiedenen Brennpunkten auf einem Kreis:
erzeugt in der dazugehörenden reellen projektiven Ebene das Kegelschnitt-Büschel aller Kegelschnitte durch die 4 Brennpunkte.
, mit einer reellwertigen Funktion , erzeugt in die Kegelschnitt-Schar aller Kegelschnitte, die die 4 Kreis-Tangenten der Brennpunkte berühren.
Diese Kegelschnitt-Schar ist die Projektion der konfokalen bizirkularen Quartiken auf die Symmetrie-Ebene.
Es gilt in allen Fällen: die Gleichungen
- und