Matriz triangular

Autor:
JLF
Definición y propiedades de las matrices triangulares. Una matriz triangular puede ser triangular superior o triangular inferior. Llamaremos simplemente matriz triangular a una matriz triangular superior o inferior (porque tienen propiedades comunes).

Matriz triangular superior

Una matriz triangular superior es una matriz cuyos elementos por debajo de la diagonal son 0. Ejemplos:  La segunda matriz del ejemplo tiene también los elementos de la diagonal igual a 0. Definición formal: Si llamamos A(i,j) al elemento de la matriz A, entonces A es triangular superior si A(i,j)=0 para todo i>j (donde i y j toman los valores adecuados según la dimensión de A).

Matriz triangular inferior

Una matriz triangular inferior es una matriz cuyos elementos por encima de la diagonal son 0. Ejemplos:  Obsérvese que la segunda matriz del ejemplo es triangular inferior y triangular superior. Esto ocurre cuando la matriz es diagonal. Definición formal: Si llamamos A(i,j) al elemento de la matriz A, entonces A es triangular inferior si A(i,j)=0 para todo i<j (donde i y j toman los valores adecuados según la dimensión de A).

Propiedades de las matrices triangulares

  • La matriz traspuesta de una triangular superior es triangular inferior y viceversa.
  • Si la matriz es cuadrada, su determinante es el producto de los elementos de la diagonal. Por tanto, una matriz triangular es regular cuando los elementos de su diagonal son no nulos.
  • La inversa de una matriz triangular superior (inferior) es una matriz triangular superior (inferior).
  • El producto de matrices triangulares superiores (inferiores) es una matriz triangular superior (inferior).
  • Los autovalores (valores propios) de una matriz cuadrada triangular son los elementos de la diagonal.
Algunas de estas propiedades se demuestran en la página Problemas teóricos sobre matrices.