トーラスと周転円
2次元ベクトル は複素数 で表現できます。
それにZ座標を付け加えて、3次元ベクトル を四元数 で表現します。
※ 四元数では虚部だけを用いて と表現するのが一般的ですが、ここでは複素数からの拡張について考えるため、敢えて としています。
複素数では を掛けることで回転が表現できます。
同じことを四元数に対しても計算します。
Z座標 に位相 が掛かっていることが分かります。 より次のようになります。
座標まで含めると4次元になってしまい、3次元にプロットするには次元を落とす必要があります。 を中心として回転方向に直交した面を持つ周転円（天動説で使われていた概念）としてプロットすれば、トーラスに沿った回転として射影できます。
座標を射影する向きは に依存します。簡単のため とすると、 での はX軸方向を向きます。それを回転行列でXY回転します。