3.1 Como calcular a distância no espaço
Introdução
O objetivo dessa apresentação é descobrir como calcular a distância entre ponto genérico A e uma reta qualquer r , que chamaremos de D(A,r). É um pouco mais elaborado se comparado à apresentação anterior(distância entre dois pontos), mas se visto devagar e entendendo todos os passos fica fácil. Vale lembrar que quando falamos de distância entre ponto e reta nos referimos à MENOR distancia entre elas.
Teoria
Dada uma reta qualquer e um ponto qualquer, é possível de analisar alguns elementos importantes para a resolução desse tipo de exercício: o ponto A (a distância calculada é em relação à esse ponto); o ponto P(VOCÊ é quem escolhe esse ponto P, PORÉM ele TEM que pertencer a reta); o vetor 
; o vetor diretor da reta; e finalmente a distância entre o ponto e a reta(esse elemento eu vou chamar de altura).
Para melhor visualização, olhe o esquema abaixo.
No esquema apresentado o vetor azul(vetor 
) é o vetor entre o ponto P qualquer da reta e o ponto A(o ponto A, é o ponto que desejamos saber a distância) ; o vetor verde (vetor 
) é o vetor diretor da reta; e o h é a altura(é o que queremos descobrir).
Vamos agora, analisar só esses três elementos, e ver o que conseguimos observar.
Nota-se que se fizermos um paralelogramo usando os vetores verde e azul, pode ser vantajoso para o calculo da altura. Porque?
Porque é possível relacionar a área desse paralelogramo de duas formas:
1- Módulo do produto vetorial entre o vetor e .
2- Da fórmula da área do paralelogramo aprendida no colégio(comprimento da base x altura)
Obs: Lembrando que o produto vetorial entre u e v dará um VETOR. O módulo desse vetor oriundo do produto vetorial entre os dois, será IGUAL à área do paralelogramo.
Dessa forma:
D(A,r)= Distância do ponto A à reta r
=vetor PA
=vetor diretor da reta
Área do paralelogramo(por meio de produto vetorial): || X ||
Área do paralelogramo(pela fórmula): |||| * h
Assim, já que ambas as áreas tratam do mesmo paralelogramo, é possível relacioná-las:
|| X || = |||| * h
Finalmente: h=D(A,r)= || X || / |||| = ||X || / ||||
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
Agora, como um complemento, você verá que o calculo da altura não vai depender do ponto P escolhido(por favor, mexa no controle deslizante k):
Para os diferentes pontos P pertencentes a reta, nota-se que a área do paralelogramo continua a mesma (Area=base*h ; a base, que é o vetor diretor da reta é constante, assim como a altura).