Rekenkundige en Meetkundige Rijen

Inleiding

Meneer Jan Schuer, de zaakvoerder van het bedrijf Smartbit bvba, moet een beslissing nemen. Moet Smartbit bvba een datacenter op afbetaling kopen, of moet het opslagruimte van een bestaand datacenter huren? Hij vraagt hiervoor jullie hulp. Maar alvorens Jan Schuer met zijn beslissing te helpen moeten jullie eerst rekenkundige en meetkundige rijen goed onder de knie hebben. Daarom beginnen wij met enkele herhalingsoefeningen.

1. Rijen (herhaling)

Begrippen
  • Een aantal getallen die in een bepaalde volgorde voorkomen, noemen we in de wiskunde een rij. Een voorbeeld van een rij is (1, 2, 4, 8, 16).
  • De getallen van een rij noemen we de termen, en elke term heeft een 'volgnummer' dat we als index noteren. Zo is in bovenstaand voorbeeld de 5de term gelijk aan het getal 16, en is het getal 4 gelijk aan de 3de term. 
  • In deze herhalingsles noteren we een rij als volgt: (u1, u2, u3, ... , un, ...), waarbij u1 de eerste term voorstelt, u2 de tweede, enz.

Oefening 1 Welke van de volgende afbeeldingen geeft een rij weer ?

Vink alles aan wat van toepassing is
Afbeelding A
Afbeelding A
Afbeelding B
Afbeelding B
Afbeelding C
Afbeelding C

Oefening 2 Welk getal hoort bij de 8ste term u8 van volgende rij: 1,4,3,6,5,8,7,10,9,12

Vink alles aan wat van toepassing is

Oefening 3 Hoeveel termen heeft volgende rij: 6, 6, 6, 6, 6

Vink alles aan wat van toepassing is

2. De rekenkundige rij (herhaling)

Begrippen
  • Bij een rekenkundige rij ontstaat elke volgende term door bij zijn voorganger een constante op te tellen. Volgende rij is daarom een rekenkundige rij (2, 4, 6, 8, 10), elke term is de som van de vorige term met het getal 2.
  • Het getal waar steeds mee wordt opgeteld noemt men het verschil v.
  • Een rekenkundige rij wordt volledig bepaald met de eerste term u1, alsmede het verschil v en het aantal termen k. Zo is de rij bestaande uit 5 termen, met eerste term u1 = 2 en het verschil v = 2, de rij uit ons voorbeeld, namelijk (2, 4, 6, 8, 10).
Oefening 1 Bepaal door middel van de volgende applet de rekenkundige rij bestaande uit 4 termen, met eerste term u1 = 40000, en verschil v = 20000. Leertip: Neem de tijd om met onderstaande applet te spelen !
Oefening 2 ( !! niet verplicht !! ) Was de oefening over rekenkundige rijen te gemakkelijk voor jou ? Dan is er volgende optionele uitdaging: Hieronder een filmpje van een Zuid-Afrikaan die de formule afleidt van de som Sn van alle termen van een rekenkundige rij.
  1. Eerste uitdaging: tracht het Zuid-Afrikaans te begrijpen !
  2. Tweede uitdaging: tracht de afleiding te begrijpen !
Tip: "Rijen & Reeksen" is in het Zuid-Afrikaans "Rye & Reekse"

3. De meetkundige rij (herhaling)

Begrippen
  • Bij een meetkundige rij ontstaat elke volgende term door zijn voorganger met een constante te vermenigvuldigen. Volgende rij is daarom een meetkundige rij (2, 4, 8, 16, 32), elke term is de vermenigvuldiging van de vorige term met het getal 2.
  • Het getal waar steeds mee wordt vermenigvuldigd noemt men het quotiënt q.
  • Een meetkundige rij wordt volledig bepaald met de eerste term u1, alsmede het quotiënt q en het aantal termen k. Zo is de rij bestaande uit 5 termen, met eerste term u1 = 2 en het quotiënt q = 2, de rij uit ons voorbeeld, namelijk (2, 4, 8, 16, 32).
Oefening 1 Bepaal door middel van de volgende applet de meetkundige rij bestaande uit 7 termen, met eerste term u1 = 60000, en quotiënt q = 1.3 Leertip: Neem de tijd om met onderstaande applet te spelen !
Oefening 2 ( !! niet verplicht !! ) Was deze oefening over meetkundige rijen te gemakkelijk voor jou ? Dan is er volgende optionele uitdaging:
  1. Een rij kan een eindig of een oneindig aantal termen bevatten. Deze oefening gaat over oneindige rijen.
  2. Bij sommige oneindige rijen kan een formule gevonden worden die toelaat un te berekenen voor een willekeurige n. In dat geval is de rij bepaald door een expliciet voorschrift.
Voorbeeld: de oneindige rij (1, 2, 3, 4, ...) wordt bepaald door het expliciet voorschrift un = n Wetende dat zowel rekenkundige als meetkundige rijen een expliciet voorschrift hebben, en dat het expliciet voorschrift van een rekenkundige rij met verschil v gelijk is aan un = u1 + (n-1) v Hoe zou jij dan het expliciet voorschrift van een meetkundige rij met quotiënt q noteren ?