Die absolute Invariante von 4 Punkten

Für 4 verschiedene Punkte, dargestellt in einem beliebigen euklidischen Koordinatensystem

, gilt

. Für das Doppelverhältnis

folgt daraus:

Begründung für die 2. Gleichung: wegen

erhält man durch Quadrieren

Mit Hilfe der Entwicklungsregel folgt die 2. Gleichung. Für die normierten Verbindungsgeradenvektoren

(s.S. zuvor) gelten die Gleichungen:

Hiermit wird die absolute Invariante der 4 Punkte definiert:

Diese ist unabhängig von der Reihenfolge der Punkte. Die Menge der 6 relativen Invarianten

ist invariant unter der endlichen Gruppe von involutorischen Möbiustranformationen {

} mit

und

. Für jede der 6 Invarianten gilt:

Dies ergibt eine kubische Gleichung in

, welche für reelles

nur reelle Koefizienten besitzt. Von den Lösungen

der kubischen Gleichung ist dann mindestens eine reell und die beiden anderen konjugiert komplex oder auch reell..

gilt genau dann, wenn d reell ist, also genau dann, wenn die Punkte konzyklisch sind.
ist genau dann erfüllt, wenn für eine der 6 relativen Invarianten gilt, d.h. genau dann, wenn 2 der möglichen Punktepaare spiegelbildlich auf 2 orthogonalen Kreisen liegen.

Wenn beides gilt (

), so trennen sich 2 der Punktepaare harmonisch. Zum Fall

gilt genau dann, wenn

. Dies folgt aus dem Satz von Thales! Tetraeder-Fall:

, für jede der 6 relativen Invarianten

ist

, für alle möglichen Doppelverhältnisse folgt daraus

oder

. Die Punkte sind die Ecken eines Tetraeders auf der Kugel!

Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene.

Nouvelles ressources