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Das Mittendreieck

Autor:Andreas Bauer
Ein Schlossbesitzer möchte etwas ganz besonderes in seinem Garten: Ein Dreieck, das so in ein größeres Dreieck hinein konstruiert ist, dass die Spitzen des inneren Dreiecks genau auf den Mittelpunkten der Seiten des äußeren Dreiecks liegen. Das innere Dreieck nennt man das Mittendreieck des äußeren Dreiecks.

Aufgabe 1

Zeichne in die Arbeitsfläche ein Dreieck und sein Mittendreieck. Benutze dafür die neu freigeschalteten Werkzeuge Mittelpunkt Toolbar Image und Vieleck Toolbar Image. Schreibe in dein Heft die Überschrift "Das Mittendreieck". Zeichne anschließend ein beliebiges (nicht zu kleines) Dreieck und konstruiere das Mittendreieck. Verwende dazu die bekannte Konstruktion der Mittelsenkrechten, um die Mittelpunkte der Dreiecksseiten zu finden.

Aufgabe 2

Betrachte die Seiten des Dreiecks und des Mittendreiecks. Was fällt dir in Bezug auf ihre Lage zueinander auf? Ist das immer so? Verschiebe die Eckpunkte des Ursprungsdreiecks, um deine Vermutung zu bestätigen. Wie lang sind die Seiten des Mittendreiecks im Verhältnis zu denen des Ursprungsdreiecks? Ist das immer so? Du kannst das Messwerkzeug Toolbar Image verwenden, um deinen Verdacht zu bestätigen. Formuliere eine Vermutung, warum das so ist. Besprich dich mit deinem Nachbarn oder deiner Nachbarin, sofern er oder sie schon so weit ist.

Aufgabe 3

Neben den Seitenlängen ist auch der Flächeninhalt des Mittendreiecks interessant. Ohne zu messen oder zu rechnen: Wie groß ist er im Verhältnis zum Ursprungsdreieck? Ist das immer so? Kannst du eine Vermutung formulieren, warum das so ist?

Aufgabe 4

Man kann auch das Mittendreieck des Mittendreiecks konstruieren. Zeichne es in deine Arbeitsfläche oben.

  • Wie lang sind die Seiten des Mittendreiecks vom Mittendreieck im Verhältnis zu den Seitenlängen des Ursprungsdreiecks?
  • Welchen Flächeninhalt hat das Mittendreieck des Mittendreiecks im Verhältnis zum Ursprungsdreieck?
  • Und das Mittendreieck des Mittendreiecks vom Mittendreieck?
Gibt es ein "kleinstes Mittendreieck"? Oder gibt es stets ein Mittendreieck vom Mittendreieck vom Mittendreieck vom Mittendreieck ... ? Wieso (nicht)?

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