Aire minimale de deux carrés dans un carré

On considère un carré ABCD de côté 4.[br]On place un point M, variable sur la diagonale ]AC[, et par M on trace deux parallèles aux côtés du grand carré qui le partagent en deux carrés et deux rectangles.[br][br]Il s'agit de déterminer la position du point M sur le segment [AC] pour que la somme des aires des petits carrés soit minimale.[br][br][br]On affiche les axes.[br]– On construit le carré ABCD et un point M sur la diagonale. On calcule la différence a des abscisses de M et de A.[br]– On construit les carrés ANMP et MRCQ, GeoGebra renvoie leurs aires que l'on somme dans la variable b.[br]– On construit enfin le point L de coordonnées (a, b) dont on active la trace.
On peut dès lors faire varier le point M et conjecturer le minimum b = 8, pour a = 2.[br][br][b]Parabole avec GeoGebra[/b][br]– En déplaçant M sur toute la diagonale, on observe que la trace semble être une branche de parabole.[br] Pour effacer la trace du point L, cliquer sur « Réinitialiser la construction » ou appuyer simultanément sur les deux touches CTRL et F.[br][br]– Cocher la case parabole de recherche, saisir la fonction carré f(x) = 2x^2, et l'«amener » sur la trace par trouve la fonction f représentant l'aire.[br]– Cocher la case parabole solution : GeoGebra affiche alors la fonction (x - 2)² + 8, ce qui permet de répondre à la question.[br]En effet, ce calcul de l'aire est du second degré, avec un coefficient 2 pour x². Vérifier la parabole sur trois points suffit pour valider le résultat.[br][br][i]Remarque[/i] : on retrouve cette figure dans les Éléments où Euclide montre que les deux rectangles ont même aire.[br]À une ou deux affinités près, cet exercice se traite dans un rectangle ou dans un parallélogramme. [br]On obtient toujours la même conclusion :[br]Le minimum est atteint pour le milieu de la diagonale.[br][br]Descartes et les Mathématiques : [url=http://www.debart.fr/geogebra/2carres_ds_carre_classique.html]Optimisation en classe de seconde[/url]

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