Berechnung der Nullstellen
- Autor:
- Ralf Wiechmann
Die Nullstellen sind die Stellen, an denen der Graph die x-Achse schneidet. Man berechnet sie, indem man den Funktionsterm gleich null setzt: f(x) = 0. Das Problem ist nun, wie man die Gleichung, die sich dabei ergibt, löst. Es kann hier zu insgesamt fünf verschiedenen Situationen kommen.
1. Gleichung direkt auflösbar
Kommt in der Gleichung nur ein Summand mit x vor, so lässt sich die Gleichung direkt auflösen.
Beispiel: |
|
|
2. Die Gleichung ist quadratisch. Lösung mit Mitternachtsformel
Liegt eine quadratische Gleichung vor, lässt sie sich natürlich mit der Mitternachtsformel (=MNF) lösen.
Beispiel: MNF: ,
3. Es lässt sich x ausklammern
Enthalten alle Summanden ein x, so lässt sich ein x ausklammern, manchmal sogar ein x2, x3 usw. Das erleichtert die Rechnung erheblich. Nach dem Ausklammern liegt nämlich ein Produkt mit zwei Faktoren vor. Und ein Produkt ist null, wenn einer der beiden Faktoren null ist. Also schaut man sich beide Faktoren getrennt an und schaut, für welche x sie jeweils null werden.
Beispiel:
oder
oder MNF: ,
4. Die Gleichung ist biquadratisch. Lösung durch Substitution.
Enthält die Gleichung nur einen Summanden mit x4 und einen mit x2 und sonst keine weiteren Summanden mit x, so lässt sie sich mit Hilfe der Substitution x2 = z lösen. In diesem Fall spricht man von einer biquadratischen Gleichung.
Beispiel: | Substitution
MNF: ,
| Resubstitution
|
, , ,
5. Nullstelle raten. Polynomdivision.
Wenn keine der ersten vier Situationen vorliegt, müssen wir eine Nullstelle raten und dann eine Polynomdivision machen.
Wir raten, indem wir verschiedene Werte für x in den Funktionsterm einsetzen, solange bis dabei einmal null herauskommt. Anschließend teilen wir den Funktionsterm durch (x minus geratene Nullstelle).
Beispiel: durch Raten erhält man die Nullstelle
nun teilen wir den Funktionsterm durch (x-1):
Anschließend erhalten wir die weiteren Nullstellen, indem wir den Ergebnisterm der Polynomdivision gleich null setzen. Dabei ergibt sich wieder eine Gleichung, für die prinzipiell alle fünf Situationen erneut eintreten können. In unserem Fall liegt eine quadratische Gleichung vor, die wir mit der Mitternachtsformel lösen:
MNF: ,
Damit haben wir alle Nullstellen (nicht die geratene Nullstelle vergessen!).
Wer das Vorgehen und besonders die Polynomdivision noch nicht verstanden hat, kann sich das alles noch einmal in folgendem Video erklären lassen:
Abschließend können Sie anhand folgender Aufgaben Ihr Verständnis überprüfen und einüben. Klicken Sie die Aufgaben an, damit sich ein Fenster mit Aufgaben und Lösungen öffnet. Sie können die pdf-Datei auch herunterladen oder ausdrucken.
