0709 Egyirányú egyenesek szerkesztése
- Szerző:
- Szilassi Lajos
Feladat:
Legyen adott a P-modellen az a egyenes és egy a-ra nem illeszkedő P pont. Szerkesszük meg a P-re illeszkedő, a-val egyirányú (ultrapárhuzamos) egyeneseket!
Megoldás:
Bolyai János szerkesztését fogjuk megismételni a P-modellen:
(Bolyai J.: Appendix a tér tudománya, 34. $ , Akadémiai Kiadó Budapest, 1977. 107. old.)
- Legyen a P –ből a-ra bocsátott merőleges talppontja T, az a egyenes egy tetszőleges, T -től különböző pontja A !
- Szerkesszük meg azt a PTAF négyszöget, amelynek a T, A és F csúcsaihoz tartozó szögei derékszögek!
- Legyen H a PT szakasznak az a pontja, amelyre AH=FP !
- Szerkesszük meg az ε = AHT szöggel egybevágó, P csúcspontú szögeket, amelynek egyik szára PT!
Az elpattanás szöge - Bolyai: Appendix, 34. $
Bolyai János szóhasználatát követve nevezzük az elpattanás szögének azt a szöget, amely a P-ből a-ra bocsátott merőleges, és a P-re illeszkedő a-val egyirányú egyenes zár be egymással.
Ez a szóhasználat valóban szemléletes, erre itt már láttunk példát, hogy miként "pattan el" egy P-re illeszkedő egyenes elválasztva a P-re illeszkedő a-t metsző egyeneseket az A -ra illeszkedő ultrapárhuzamos egyenesektől.
Megjegyezzük még, hogy a fenti szerkesztés 4. lépésében megjelenik az un. Lambert-négyszög: olyan négyszög, amelynek három szöge derékszög. J.H. Lambert (1728-1777) azt vizsgálta, hogy vajon mekkora lehet a negyedik? Az euklideszi geometriában ez szükségképpen derékszög, a gömbi geometriában ennél nagyobb. "Elvileg", lehetne kisebb is a derékszögnél, de ezt a lehetőséget - ellentétben Bolyaival és Lobacsevszkíjjel - elvetette, mondván: ez bizarr, ellentmondó feltevés.
További kapcsolatok
Legyen A0 a P középpontú, F -re illeszkedő körnek és a P-ből induló, [T,A) félegyenessel aszimptotikusan párhuzamos egyenesnek a metszéspontja. Legyen továbbá T0 ennek a (PT) egyenesre eső merőleges vetülete. Megmutatható, hogy:
- a [T0A0) és [PF) félegyenesek aszimptotikusan párhuzamosak;
- az A0 és A pontok tengelyesen szimmetrikusak a T0 T szakasz felező merőlegesére.