Arithmetische Folge
Arithmetische Folgen als Spezialfälle linearer Funktionen
Gegeben ist die Folge (5, 8, 11, 14, 17, ...). Ein Folgenglied ergibt sich aus dem vorhergehenden durch Addition von 3.
Definition
Eine Folge an heißt arithmetische Folge, wenn die Differenz an+1 - an für alle n den gleichen Wert k besitzt. Die Konstante k heißt Differenz der arithmetischen Folge.
Bei arithmetischen Folgen beginnen wir stets mit dem Folgenindex 0, d.h. das erste Folgenglied wird mit a0 bezeichnet.
Jede arithmetische Folge besitzt eine Termdarstellung der Form an = k.n + d (mit k, d )
Durch einen Vergleich mit der Termdarstellung f(x) = k.x + d einer linearen Funktion erkennt man:
Jede arithmetische Folge kann als eine auf n definierte lineare Funktion aufgefasst werden, d.h. als eine Funktion f:
Es gilt: a0 = d.
ACHTUNG: a0 ist somit das erste Glied der Folge!
Beim Aufsuchen der Termdarstellung einer arithmetischen Folge wird genauso vorgegangen, wie beim Aufstellen einer linearen Funktion.
Zunächst stellen wir die wichtigsten Begriffe der Arithmetischen Folge den entsprechenden Größen der linearen Funktion gegenüber:
Rekursive Darstellung einer arithmetischen Folge:
an+1 = an + k
| arithmetische Folge | lineare Funktion |
| Folgenglied: (n | an ) | Punkt (x | f(x)) |
| Differenz zweier Folgenglieder: k = an+1 - an | Steigung einer linearen Funktion: entspricht der Änderung der Funktionswerte bei Vermehrung des Arguments um 1: f(x+1) - f(x) |
| Berechnung der Differenz, falls zwei beliebige Folgenglieder gegeben sind: am; ; an k = Berechnung des Startglieds a0: Werte eines Folgenglieds - n und an in Termdarstellung einsetzen. | Berechnung der Steigung, falls zwei beliebige Punkte gegeben sind: P = (x1 | f(x1)) ; Q = (x2| f(x2)) k = Berechnung von d: Punkt - x und f(x) in Termdarstellung einsetzen. |
Aufgaben:
1. Von einer arithmetischen Folge kennt man das Folgenglied a5 = 16,5 und k = 2.
Gib diese Folge sowohl in expliziter als auch in rekursiver Form an. Berechne die ersten 6 Folgenglieder mit Hilfe der Tabellenkalkulation von Geogebra und stelle sowohl die Folgenglieder als auch die zugehörige lineare Funktion im Grafikfenster dar.
2. Von einer arithmetischen Folge kennt man zwei Folgenglieder. Bestimme die Differenz k und das Anfangsglied a0 und stelle die Folge sowohl in expliziter als auch in rekursiver Form dar:
a. a6 = -13 , a10 = -17
b. a4 = 19 , a10 = 49
3. Von einer Zahlenfolge liegen einige Folgenglieder vor. Untersuche, ob es sich um eine arithmetische Folge handelt. Falls dies zutrifft, gib die Folge in expliziter als auch in rekursiver Form an. Falls dies nicht zutrifft, überlege, wie man ein Folgenglied ändern kann, sodass eine arithmetische Folge vorliegt.
a. a3 = -7, a6 = -2,5, a15 = 11
b. a3 = 4,4 , a11 = 1,2 , a16 = 0,8
c. a2 = 10, a4 = 5 , a5 = 0