Théorème de Carnot - triangle avec un angle obtus

ABC est un triangle, [math]C_e[/math] son cercle circonscrit de centre O et de rayon [i]R[/i] et [math]C_i[/math] son cercle inscrit de centre I et de rayon [i]r[/i]. Cas particulier d'un triangle ABC avec l'angle A obtus. Les projetés orthogonaux de O sur les côtés [BC], [AC] et [AB] sont [math]A_1, B_1, C_1[/math]. Le segment [math][OA_1[/math] est à l'extérieur du triangle. La distance signée [math]- d_1[/math] de O à [BC] est négative. Les distances du centre O aux autres côtés du triangle sont notées par [math] d_2, d_3[/math]. La somme des distances signées du centre O aux côtés du triangle est donnée par [math]- d_1 + d_2 + d_3 = R +r[/math].

Une distance [math]d_i[/math] négative si le segment correspondant est entièrement à l’extérieur du triangle. Le côté correspondant est alors intercepté par un angle obtus. Les deux autres distance signées [math]d_i[/math] sont positives. La somme des [b]distances signées[/b] du centre O aux côtés du triangle est donnée par [math]d_1 +d_2 + d_3 = R +r[/math]. [b]Distances absolues[/b] (non signées) Ici A est obtus : on a [math]- d_1 + d_2 + d_3 = R +r[/math] : si B est obtus : on a [math]d_1 - d_2 + d_3 = R +r[/math] : si C est obtus : on a [math]d_1 + d_2 - d_3 = R +r[/math] Descartes et les Mathématiques - Relations métriques du triangle [url]http://debart.pagesperso-orange.fr/geoplan/relation_metrique.html#thm_carnot[/url] Théorème japonais de Carnot Triangle acutangle : [url]https://tube.geogebra.org/m/2488523[/url] démonstration : [url]https://tube.geogebra.org/m/2490207[/url] triangle rectangle : [url]https://tube.geogebra.org/m/2490381[/url]