Die Schwarzsche Ableitung
Wir untersuchen die begleitende Bewegung einer genügend oft differenzierbaren Kurve : oder einer analytischen Funktion in , bezüglich des euklidischen Standard-Koordinatensystems .
Die begleitende Bezugssysteme
- bzw.
- bzw. .
- Die Schwarzsche Ableitung ist abhängig von der Parametrisierung der Kurve, bzw. der Funktion.
Dies ergibt sich aus der Kettenregel für die Schwarzsche Ableitung:
- Die Schwarzsche Ableitung einer Möbiustransformation oder einer reellen gebrochen-linearen Parametertransformation ist 0: . Hieraus folgt unmittelbar, dass die Schwarzsche Ableitung eine Möbiusinvariante ist.
- Ist die Schwarzsche Ableitung an einer Stelle reell, so liegt ein Scheitel vor: der Schmiegkreis berührt in mindestens 3. Ordnung. Für eine konvexe geschlossene Kurve gilt der Vierscheitelsatz: eine solche Kurve besitzt mindestens 4 Scheitel, siehe Literaturverzeichnis [BARN].
- Ist die Schwarzsche Ableitung konstant, so ist die begleitende infinitesimale Bewegung ebenfalls konstant, Die begleitende Bewegung ist eine W-Bewegung, die Kurve eine W-Kurve.
- Ist die Schwarzsche Ableitung konstant, reell und kleiner 0, so ist die W-Kurve ein elliptisch parametrisierter Kreis, zB.
- Ist sie konstant, reell und positiv, so ist die Bahnkurve ein hyperbolisch parametrisierter Kreis (mit 2 Fixpunkten) zB.
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