Distance minimale dans un triangle rectangle

Où placer un point de l'hypoténuse d'un triangle rectangle pour que la distance entre ses projections sur les petits côtés soit minimale ?[br][br]ABC est un triangle rectangle en A, et M un point de l'hypoténuse [BC]. Les perpendiculaires à [AB] et [AC] passant par M coupent [AB] en N et [AC] en P.[br]Où placer le point M pour que la distance NP soit la plus petite possible ?
Une fois la construction réalisée, le logiciel permet d'afficher la distance NP qui varie quand on déplace le point M sur [BC], on peut facilement invalider les conjectures qui apparaissent fréquemment sur papier (le milieu ou les points B et C).[br][br]Si le triangle ABC construit est trop particulier, on peut le déformer (tout en le conservant rectangle). Le logiciel permet d'observer que le point M peut être placé n'importe où sur [BC], que son déplacement modifie la longueur NP et ainsi de comprendre le problème posé.[br][br]En déplaçant le point M on peut aussi observer les invariants de la figure (ici que le quadrilatère MNAP est toujours un rectangle). L'observation du rectangle conduit à la solution (le pied de la hauteur) et à la démonstration (AM = NP).[br][br]Descartes et les Mathématiques - [url=http://www.debart.fr/geogebra/distance_minimale_triangle.html]Distance minimale dans un triangle rectangle[/url]

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